Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40757 / 57429
↖ ↑ ↗
← S 79.258706°
E 43.884888°		 ← 113.85 m → S 79.258706°
E 43.890381°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
S 79.259729°
E 43.884888°		 ← 113.84 m →
12 954 m²		 S 79.259729°
E 43.890381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621910095214844 y=0.876304626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621910095214844 × 216)
    floor (0.621910095214844 × 65536)
    floor (40757.5)     		tx = 40757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876304626464844 × 216)
    floor (0.876304626464844 × 65536)
    floor (57429.5)     		ty = 57429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40757 / 57429 ti = "16/40757/57429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40757/57429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40757 ÷ 216
    40757 ÷ 65536     		x = 0.621902465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57429 ÷ 216
    57429 ÷ 65536     		y = 0.876296997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621902465820312 × 2 - 1) × π
    0.243804931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76593578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876296997070312 × 2 - 1) × π
    -0.752593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36434376306041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76593578} λ = 0.76593578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36434376306041))-π/2
    2×atan(0.094010973603744)-π/2
    2×0.0937354747530728-π/2
    0.187470949506146-1.57079632675     		φ = -1.38332538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76593578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.884888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38332538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.258706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40757 KachelY 57429 0.76593578 -1.38332538 43.884888 -79.258706
    Oben rechts KachelX + 1 40758 KachelY 57429 0.76603166 -1.38332538 43.890381 -79.258706
    Unten links KachelX 40757 KachelY + 1 57430 0.76593578 -1.38334324 43.884888 -79.259729
    Unten rechts KachelX + 1 40758 KachelY + 1 57430 0.76603166 -1.38334324 43.890381 -79.259729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38332538--1.38334324) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38332538--1.38334324) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76593578-0.76603166) × cos(-1.38332538) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186374752684929 × 6371000     		do = 113.84729351228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76593578-0.76603166) × cos(-1.38334324) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186357205585118 × 6371000     		du = 113.836574840391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38332538)-sin(-1.38334324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186374752684929-0.186357205585118)×R²
    abs(0.76603166-0.76593578)×1.75470998114158e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.75470998114158e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.75470998114158e-05×40589641000000     		ar = 12953.6251528944m²