Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40756 / 9753
↖ ↑ ↗
← N 77.436191°
E 43.879395°		 ← 132.86 m → N 77.436191°
E 43.884888°		 →
↑
132.90 m
↓
↑
132.90 m
↓
N 77.434996°
E 43.879395°		 ← 132.88 m →
17 658 m²		 N 77.434996°
E 43.884888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621894836425781 y=0.148826599121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621894836425781 × 216)
    floor (0.621894836425781 × 65536)
    floor (40756.5)     		tx = 40756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148826599121094 × 216)
    floor (0.148826599121094 × 65536)
    floor (9753.5)     		ty = 9753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40756 / 9753 ti = "16/40756/9753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40756/9753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40756 ÷ 216
    40756 ÷ 65536     		x = 0.62188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9753 ÷ 216
    9753 ÷ 65536     		y = 0.148818969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62188720703125 × 2 - 1) × π
    0.2437744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76583991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148818969726562 × 2 - 1) × π
    0.702362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20653548951118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76583991} λ = 0.76583991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20653548951118))-π/2
    2×atan(9.08418954207077)-π/2
    2×1.4611564068153-π/2
    2.92231281363061-1.57079632675     		φ = 1.35151649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76583991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.879395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35151649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.436191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40756 KachelY 9753 0.76583991 1.35151649 43.879395 77.436191
    Oben rechts KachelX + 1 40757 KachelY 9753 0.76593578 1.35151649 43.884888 77.436191
    Unten links KachelX 40756 KachelY + 1 9754 0.76583991 1.35149563 43.879395 77.434996
    Unten rechts KachelX + 1 40757 KachelY + 1 9754 0.76593578 1.35149563 43.884888 77.434996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35151649-1.35149563) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dl = 132.899060000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35151649-1.35149563) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dr = 132.899060000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76583991-0.76593578) × cos(1.35151649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217526761115895 × 6371000     		do = 132.862685337297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76583991-0.76593578) × cos(1.35149563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217547121562457 × 6371000     		du = 132.875121249049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35151649)-sin(1.35149563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217526761115895-0.217547121562457)×R²
    abs(0.76593578-0.76583991)×2.03604465623675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03604465623675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03604465623675e-05×40589641000000     		ar = 17658.1523515594m²