Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40756 / 10070
↖ ↑ ↗
← N 77.051733°
E 43.879395°		 ← 136.86 m → N 77.051733°
E 43.884888°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
N 77.050502°
E 43.879395°		 ← 136.87 m →
18 730 m²		 N 77.050502°
E 43.884888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621894836425781 y=0.153663635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621894836425781 × 216)
    floor (0.621894836425781 × 65536)
    floor (40756.5)     		tx = 40756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153663635253906 × 216)
    floor (0.153663635253906 × 65536)
    floor (10070.5)     		ty = 10070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40756 / 10070 ti = "16/40756/10070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40756/10070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40756 ÷ 216
    40756 ÷ 65536     		x = 0.62188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10070 ÷ 216
    10070 ÷ 65536     		y = 0.153656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62188720703125 × 2 - 1) × π
    0.2437744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76583991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153656005859375 × 2 - 1) × π
    0.69268798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17614349515207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76583991} λ = 0.76583991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17614349515207))-π/2
    2×atan(8.81225613518232)-π/2
    2×1.45780137919465-π/2
    2.91560275838931-1.57079632675     		φ = 1.34480643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76583991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.879395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34480643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.051733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40756 KachelY 10070 0.76583991 1.34480643 43.879395 77.051733
    Oben rechts KachelX + 1 40757 KachelY 10070 0.76593578 1.34480643 43.884888 77.051733
    Unten links KachelX 40756 KachelY + 1 10071 0.76583991 1.34478495 43.879395 77.050502
    Unten rechts KachelX + 1 40757 KachelY + 1 10071 0.76593578 1.34478495 43.884888 77.050502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34480643-1.34478495) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dl = 136.849080000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34480643-1.34478495) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dr = 136.849080000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76583991-0.76593578) × cos(1.34480643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224071198225957 × 6371000     		do = 136.859947485657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76583991-0.76593578) × cos(1.34478495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224092131997518 × 6371000     		du = 136.872733577307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34480643)-sin(1.34478495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224071198225957-0.224092131997518)×R²
    abs(0.76593578-0.76583991)×2.09337715612323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09337715612323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09337715612323e-05×40589641000000     		ar = 18730.0327854497m²