Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40756 / 10069
↖ ↑ ↗
← N 77.052963°
E 43.879395°		 ← 136.85 m → N 77.052963°
E 43.884888°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
N 77.051733°
E 43.879395°		 ← 136.86 m →
18 728 m²		 N 77.051733°
E 43.884888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621894836425781 y=0.153648376464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621894836425781 × 216)
    floor (0.621894836425781 × 65536)
    floor (40756.5)     		tx = 40756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153648376464844 × 216)
    floor (0.153648376464844 × 65536)
    floor (10069.5)     		ty = 10069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40756 / 10069 ti = "16/40756/10069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40756/10069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40756 ÷ 216
    40756 ÷ 65536     		x = 0.62188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10069 ÷ 216
    10069 ÷ 65536     		y = 0.153640747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62188720703125 × 2 - 1) × π
    0.2437744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76583991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153640747070312 × 2 - 1) × π
    0.692718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17623936895131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76583991} λ = 0.76583991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17623936895131))-π/2
    2×atan(8.81310104015936)-π/2
    2×1.45781211997132-π/2
    2.91562423994264-1.57079632675     		φ = 1.34482791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76583991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.879395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34482791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.052963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40756 KachelY 10069 0.76583991 1.34482791 43.879395 77.052963
    Oben rechts KachelX + 1 40757 KachelY 10069 0.76593578 1.34482791 43.884888 77.052963
    Unten links KachelX 40756 KachelY + 1 10070 0.76583991 1.34480643 43.879395 77.051733
    Unten rechts KachelX + 1 40757 KachelY + 1 10070 0.76593578 1.34480643 43.884888 77.051733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34482791-1.34480643) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dl = 136.849080000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34482791-1.34480643) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dr = 136.849080000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76583991-0.76593578) × cos(1.34482791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224050264351011 × 6371000     		do = 136.847161330861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76583991-0.76593578) × cos(1.34480643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224071198225957 × 6371000     		du = 136.859947485657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34482791)-sin(1.34480643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224050264351011-0.224071198225957)×R²
    abs(0.76593578-0.76583991)×2.09338749455612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09338749455612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09338749455612e-05×40589641000000     		ar = 18728.2830162144m²