Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40756 / 10036
N 77.093516°
E 43.879395°
← 136.43 m → N 77.093516°
E 43.884888°

136.47 m

136.47 m
N 77.092288°
E 43.879395°
← 136.44 m →
18 618 m²
N 77.092288°
E 43.884888°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621894836425781 y=0.153144836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621894836425781 × 216)
    floor (0.621894836425781 × 65536)
    floor (40756.5)
    tx = 40756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153144836425781 × 216)
    floor (0.153144836425781 × 65536)
    floor (10036.5)
    ty = 10036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40756 / 10036 ti = "16/40756/10036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40756/10036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40756 ÷ 216
    40756 ÷ 65536
    x = 0.62188720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10036 ÷ 216
    10036 ÷ 65536
    y = 0.15313720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.62188720703125 × 2 - 1) × π
    0.2437744140625 × 3.1415926535
    Λ = 0.76583991
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.15313720703125 × 2 - 1) × π
    0.6937255859375 × 3.1415926535
    Φ = 2.17940320432623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76583991} λ = 0.76583991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17940320432623))-π/2
    2×atan(8.84102839647619)-π/2
    2×1.4581660031503-π/2
    2.91633200630059-1.57079632675
    φ = 1.34553568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76583991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.879395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34553568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.093516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40756 KachelY 10036 0.76583991 1.34553568 43.879395 77.093516
    Oben rechts KachelX + 1 40757 KachelY 10036 0.76593578 1.34553568 43.884888 77.093516
    Unten links KachelX 40756 KachelY + 1 10037 0.76583991 1.34551426 43.879395 77.092288
    Unten rechts KachelX + 1 40757 KachelY + 1 10037 0.76593578 1.34551426 43.884888 77.092288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.34553568-1.34551426) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000
    dl = 136.46681999961m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.34553568-1.34551426) × R
    2.14199999999387e-05 × 6371000
    dr = 136.46681999961m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.76583991-0.76593578) × cos(1.34553568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223360431509999 × 6371000
    do = 136.425819868227m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.76583991-0.76593578) × cos(1.34551426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223381310302206 × 6371000
    du = 136.43857237916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.34553568)-sin(1.34551426))×
    abs(λ12)×abs(0.223360431509999-0.223381310302206)×
    abs(0.76593578-0.76583991)×2.08787922068576e-05×
    9.58699999999979e-05×2.08787922068576e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08787922068576e-05×40589641000000
    ar = 18618.4679511767m²