Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40755 / 57558
↖ ↑ ↗
← S 79.389975°
E 43.873901°		 ← 112.47 m → S 79.389975°
E 43.879395°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
S 79.390986°
E 43.873901°		 ← 112.46 m →
12 647 m²		 S 79.390986°
E 43.879395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621879577636719 y=0.878273010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621879577636719 × 216)
    floor (0.621879577636719 × 65536)
    floor (40755.5)     		tx = 40755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878273010253906 × 216)
    floor (0.878273010253906 × 65536)
    floor (57558.5)     		ty = 57558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40755 / 57558 ti = "16/40755/57558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40755/57558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40755 ÷ 216
    40755 ÷ 65536     		x = 0.621871948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57558 ÷ 216
    57558 ÷ 65536     		y = 0.878265380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621871948242188 × 2 - 1) × π
    0.243743896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76574403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.75653076171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37671148316238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76574403} λ = 0.76574403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37671148316238))-π/2
    2×atan(0.092855432628678)-π/2
    2×0.0925899341991141-π/2
    0.185179868398228-1.57079632675     		φ = -1.38561646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76574403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.873901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38561646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.389975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40755 KachelY 57558 0.76574403 -1.38561646 43.873901 -79.389975
    Oben rechts KachelX + 1 40756 KachelY 57558 0.76583991 -1.38561646 43.879395 -79.389975
    Unten links KachelX 40755 KachelY + 1 57559 0.76574403 -1.38563411 43.873901 -79.390986
    Unten rechts KachelX + 1 40756 KachelY + 1 57559 0.76583991 -1.38563411 43.879395 -79.390986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38561646--1.38563411) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38561646--1.38563411) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76574403-0.76583991) × cos(-1.38561646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.184123328144551 × 6371000     		do = 112.472007499551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76574403-0.76583991) × cos(-1.38563411) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.184105979875296 × 6371000     		du = 112.461410283601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38561646)-sin(-1.38563411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184123328144551-0.184105979875296)×R²
    abs(0.76583991-0.76574403)×1.73482692556737e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.73482692556737e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.73482692556737e-05×40589641000000     		ar = 12646.6733514909m²