Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40755 / 10025
↖ ↑ ↗
← N 77.107005°
E 43.873901°		 ← 136.30 m → N 77.107005°
E 43.879395°		 →
↑
136.34 m
↓
↑
136.34 m
↓
N 77.105779°
E 43.873901°		 ← 136.31 m →
18 584 m²		 N 77.105779°
E 43.879395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621879577636719 y=0.152976989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621879577636719 × 216)
    floor (0.621879577636719 × 65536)
    floor (40755.5)     		tx = 40755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152976989746094 × 216)
    floor (0.152976989746094 × 65536)
    floor (10025.5)     		ty = 10025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40755 / 10025 ti = "16/40755/10025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40755/10025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40755 ÷ 216
    40755 ÷ 65536     		x = 0.621871948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10025 ÷ 216
    10025 ÷ 65536     		y = 0.152969360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621871948242188 × 2 - 1) × π
    0.243743896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76574403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152969360351562 × 2 - 1) × π
    0.694061279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18045781611787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76574403} λ = 0.76574403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18045781611787))-π/2
    2×atan(8.85035716752469)-π/2
    2×1.45828372190597-π/2
    2.91656744381194-1.57079632675     		φ = 1.34577112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76574403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.873901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34577112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.107005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40755 KachelY 10025 0.76574403 1.34577112 43.873901 77.107005
    Oben rechts KachelX + 1 40756 KachelY 10025 0.76583991 1.34577112 43.879395 77.107005
    Unten links KachelX 40755 KachelY + 1 10026 0.76574403 1.34574972 43.873901 77.105779
    Unten rechts KachelX + 1 40756 KachelY + 1 10026 0.76583991 1.34574972 43.879395 77.105779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34577112-1.34574972) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dl = 136.339400000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34577112-1.34574972) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dr = 136.339400000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76574403-0.76583991) × cos(1.34577112) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.223130933495987 × 6371000     		do = 136.299860959716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76574403-0.76583991) × cos(1.34574972) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.223151793918429 × 6371000     		du = 136.312603579638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34577112)-sin(1.34574972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223130933495987-0.223151793918429)×R²
    abs(0.76583991-0.76574403)×2.08604224413711e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.08604224413711e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.08604224413711e-05×40589641000000     		ar = 18583.9099249675m²