Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40755 / 10023
↖ ↑ ↗
← N 77.109456°
E 43.873901°		 ← 136.27 m → N 77.109456°
E 43.879395°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
N 77.108231°
E 43.873901°		 ← 136.29 m →
18 572 m²		 N 77.108231°
E 43.879395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621879577636719 y=0.152946472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621879577636719 × 216)
    floor (0.621879577636719 × 65536)
    floor (40755.5)     		tx = 40755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152946472167969 × 216)
    floor (0.152946472167969 × 65536)
    floor (10023.5)     		ty = 10023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40755 / 10023 ti = "16/40755/10023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40755/10023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40755 ÷ 216
    40755 ÷ 65536     		x = 0.621871948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10023 ÷ 216
    10023 ÷ 65536     		y = 0.152938842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621871948242188 × 2 - 1) × π
    0.243743896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76574403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152938842773438 × 2 - 1) × π
    0.694122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18064956371635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76574403} λ = 0.76574403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18064956371635))-π/2
    2×atan(8.85205436496882)-π/2
    2×1.45830511231742-π/2
    2.91661022463485-1.57079632675     		φ = 1.34581390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76574403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.873901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34581390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.109456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40755 KachelY 10023 0.76574403 1.34581390 43.873901 77.109456
    Oben rechts KachelX + 1 40756 KachelY 10023 0.76583991 1.34581390 43.879395 77.109456
    Unten links KachelX 40755 KachelY + 1 10024 0.76574403 1.34579251 43.873901 77.108231
    Unten rechts KachelX + 1 40756 KachelY + 1 10024 0.76583991 1.34579251 43.879395 77.108231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34581390-1.34579251) × R
    2.1389999999899e-05 × 6371000     		dl = 136.275689999356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34581390-1.34579251) × R
    2.1389999999899e-05 × 6371000     		dr = 136.275689999356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76574403-0.76583991) × cos(1.34581390) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.22308923184052 × 6371000     		do = 136.274387441755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76574403-0.76583991) × cos(1.34579251) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.223110082719293 × 6371000     		du = 136.287124231913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34581390)-sin(1.34579251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22308923184052-0.223110082719293)×R²
    abs(0.76583991-0.76574403)×2.08508787737094e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.08508787737094e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.08508787737094e-05×40589641000000     		ar = 18571.754036025m²