Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40753 / 10067
↖ ↑ ↗
← N 77.055425°
E 43.862915°		 ← 136.82 m → N 77.055425°
E 43.868408°		 →
↑
136.85 m
↓
↑
136.85 m
↓
N 77.054194°
E 43.862915°		 ← 136.83 m →
18 725 m²		 N 77.054194°
E 43.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621849060058594 y=0.153617858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621849060058594 × 216)
    floor (0.621849060058594 × 65536)
    floor (40753.5)     		tx = 40753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153617858886719 × 216)
    floor (0.153617858886719 × 65536)
    floor (10067.5)     		ty = 10067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40753 / 10067 ti = "16/40753/10067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40753/10067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40753 ÷ 216
    40753 ÷ 65536     		x = 0.621841430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10067 ÷ 216
    10067 ÷ 65536     		y = 0.153610229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621841430664062 × 2 - 1) × π
    0.243682861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76555229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153610229492188 × 2 - 1) × π
    0.692779541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17643111654979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76555229} λ = 0.76555229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17643111654979))-π/2
    2×atan(8.81479109314559)-π/2
    2×1.45783359851414-π/2
    2.91566719702828-1.57079632675     		φ = 1.34487087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76555229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.862915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34487087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.055425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40753 KachelY 10067 0.76555229 1.34487087 43.862915 77.055425
    Oben rechts KachelX + 1 40754 KachelY 10067 0.76564816 1.34487087 43.868408 77.055425
    Unten links KachelX 40753 KachelY + 1 10068 0.76555229 1.34484939 43.862915 77.054194
    Unten rechts KachelX + 1 40754 KachelY + 1 10068 0.76564816 1.34484939 43.868408 77.054194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34487087-1.34484939) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dl = 136.849080000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34487087-1.34484939) × R
    2.14800000000182e-05 × 6371000     		dr = 136.849080000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76555229-0.76564816) × cos(1.34487087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224008396291006 × 6371000     		do = 136.821588831857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76555229-0.76564816) × cos(1.34484939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224029330372691 × 6371000     		du = 136.834375112926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34487087)-sin(1.34484939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224008396291006-0.224029330372691)×R²
    abs(0.76564816-0.76555229)×2.09340816851589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09340816851589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09340816851589e-05×40589641000000     		ar = 18724.7834518222m²