Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40752 / 57539
↖ ↑ ↗
← S 79.370741°
E 43.857422°		 ← 112.67 m → S 79.370741°
E 43.862915°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
S 79.371754°
E 43.857422°		 ← 112.66 m →
12 691 m²		 S 79.371754°
E 43.862915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621833801269531 y=0.877983093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621833801269531 × 216)
    floor (0.621833801269531 × 65536)
    floor (40752.5)     		tx = 40752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877983093261719 × 216)
    floor (0.877983093261719 × 65536)
    floor (57539.5)     		ty = 57539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40752 / 57539 ti = "16/40752/57539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40752/57539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40752 ÷ 216
    40752 ÷ 65536     		x = 0.621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57539 ÷ 216
    57539 ÷ 65536     		y = 0.877975463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621826171875 × 2 - 1) × π
    0.24365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76545641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877975463867188 × 2 - 1) × π
    -0.755950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37488988097682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76545641} λ = 0.76545641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37488988097682))-π/2
    2×atan(0.0930247324393336)-π/2
    2×0.0927577841452247-π/2
    0.185515568290449-1.57079632675     		φ = -1.38528076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76545641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38528076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.370741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40752 KachelY 57539 0.76545641 -1.38528076 43.857422 -79.370741
    Oben rechts KachelX + 1 40753 KachelY 57539 0.76555229 -1.38528076 43.862915 -79.370741
    Unten links KachelX 40752 KachelY + 1 57540 0.76545641 -1.38529844 43.857422 -79.371754
    Unten rechts KachelX + 1 40753 KachelY + 1 57540 0.76555229 -1.38529844 43.862915 -79.371754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38528076--1.38529844) × R
    1.76799999997979e-05 × 6371000     		dl = 112.639279998712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38528076--1.38529844) × R
    1.76799999997979e-05 × 6371000     		dr = 112.639279998712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76545641-0.76555229) × cos(-1.38528076) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.184453278350583 × 6371000     		do = 112.673558071362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76545641-0.76555229) × cos(-1.38529844) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.184435901687867 × 6371000     		du = 112.662943511225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38528076)-sin(-1.38529844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184453278350583-0.184435901687867)×R²
    abs(0.76555229-0.76545641)×1.73766627155625e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.73766627155625e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.73766627155625e-05×40589641000000     		ar = 12690.870648373m²