Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40752 / 10027
↖ ↑ ↗
← N 77.104554°
E 43.857422°		 ← 136.33 m → N 77.104554°
E 43.862915°		 →
↑
136.34 m
↓
↑
136.34 m
↓
N 77.103328°
E 43.857422°		 ← 136.34 m →
18 587 m²		 N 77.103328°
E 43.862915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621833801269531 y=0.153007507324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621833801269531 × 216)
    floor (0.621833801269531 × 65536)
    floor (40752.5)     		tx = 40752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153007507324219 × 216)
    floor (0.153007507324219 × 65536)
    floor (10027.5)     		ty = 10027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40752 / 10027 ti = "16/40752/10027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40752/10027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40752 ÷ 216
    40752 ÷ 65536     		x = 0.621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10027 ÷ 216
    10027 ÷ 65536     		y = 0.152999877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621826171875 × 2 - 1) × π
    0.24365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76545641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152999877929688 × 2 - 1) × π
    0.694000244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18026606851939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76545641} λ = 0.76545641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18026606851939))-π/2
    2×atan(8.84866029548289)-π/2
    2×1.45826232749599-π/2
    2.91652465499197-1.57079632675     		φ = 1.34572833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76545641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34572833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.104554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40752 KachelY 10027 0.76545641 1.34572833 43.857422 77.104554
    Oben rechts KachelX + 1 40753 KachelY 10027 0.76555229 1.34572833 43.862915 77.104554
    Unten links KachelX 40752 KachelY + 1 10028 0.76545641 1.34570693 43.857422 77.103328
    Unten rechts KachelX + 1 40753 KachelY + 1 10028 0.76555229 1.34570693 43.862915 77.103328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34572833-1.34570693) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dl = 136.339400000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34572833-1.34570693) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dr = 136.339400000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76545641-0.76555229) × cos(1.34572833) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.223172644490886 × 6371000     		do = 136.32534018284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76545641-0.76555229) × cos(1.34570693) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.223193504708976 × 6371000     		du = 136.338082677934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34572833)-sin(1.34570693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223172644490886-0.223193504708976)×R²
    abs(0.76555229-0.76545641)×2.08602180903628e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.08602180903628e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.08602180903628e-05×40589641000000     		ar = 18587.3837379813m²