Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40751 / 9972
↖ ↑ ↗
← N 77.171806°
E 43.851929°		 ← 135.61 m → N 77.171806°
E 43.857422°		 →
↑
135.64 m
↓
↑
135.64 m
↓
N 77.170586°
E 43.851929°		 ← 135.62 m →
18 395 m²		 N 77.170586°
E 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621818542480469 y=0.152168273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621818542480469 × 216)
    floor (0.621818542480469 × 65536)
    floor (40751.5)     		tx = 40751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152168273925781 × 216)
    floor (0.152168273925781 × 65536)
    floor (9972.5)     		ty = 9972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40751 / 9972 ti = "16/40751/9972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40751/9972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40751 ÷ 216
    40751 ÷ 65536     		x = 0.621810913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9972 ÷ 216
    9972 ÷ 65536     		y = 0.15216064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621810913085938 × 2 - 1) × π
    0.243621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76536054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15216064453125 × 2 - 1) × π
    0.6956787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1855391274776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76536054} λ = 0.76536054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1855391274776))-π/2
    2×atan(8.89544303860341)-π/2
    2×1.45884921899855-π/2
    2.9176984379971-1.57079632675     		φ = 1.34690211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76536054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.851929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34690211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.171806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40751 KachelY 9972 0.76536054 1.34690211 43.851929 77.171806
    Oben rechts KachelX + 1 40752 KachelY 9972 0.76545641 1.34690211 43.857422 77.171806
    Unten links KachelX 40751 KachelY + 1 9973 0.76536054 1.34688082 43.851929 77.170586
    Unten rechts KachelX + 1 40752 KachelY + 1 9973 0.76545641 1.34688082 43.857422 77.170586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34690211-1.34688082) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dl = 135.638590000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34690211-1.34688082) × R
    2.12900000000626e-05 × 6371000     		dr = 135.638590000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76536054-0.76545641) × cos(1.34690211) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222028314997022 × 6371000     		do = 135.612179393886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76536054-0.76545641) × cos(1.34688082) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22204907355295 × 6371000     		du = 135.624858465969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34690211)-sin(1.34688082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222028314997022-0.22204907355295)×R²
    abs(0.76545641-0.76536054)×2.07585559277579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07585559277579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07585559277579e-05×40589641000000     		ar = 18395.1046862319m²