Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40751 / 57563
↖ ↑ ↗
← S 79.395031°
E 43.851929°		 ← 112.41 m → S 79.395031°
E 43.857422°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 79.396042°
E 43.851929°		 ← 112.40 m →
12 632 m²		 S 79.396042°
E 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621818542480469 y=0.878349304199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621818542480469 × 216)
    floor (0.621818542480469 × 65536)
    floor (40751.5)     		tx = 40751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878349304199219 × 216)
    floor (0.878349304199219 × 65536)
    floor (57563.5)     		ty = 57563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40751 / 57563 ti = "16/40751/57563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40751/57563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40751 ÷ 216
    40751 ÷ 65536     		x = 0.621810913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57563 ÷ 216
    57563 ÷ 65536     		y = 0.878341674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621810913085938 × 2 - 1) × π
    0.243621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76536054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878341674804688 × 2 - 1) × π
    -0.756683349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37719085215858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76536054} λ = 0.76536054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37719085215858))-π/2
    2×atan(0.0928109312802826)-π/2
    2×0.0925458130864601-π/2
    0.18509162617292-1.57079632675     		φ = -1.38570470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76536054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.851929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38570470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.395031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40751 KachelY 57563 0.76536054 -1.38570470 43.851929 -79.395031
    Oben rechts KachelX + 1 40752 KachelY 57563 0.76545641 -1.38570470 43.857422 -79.395031
    Unten links KachelX 40751 KachelY + 1 57564 0.76536054 -1.38572234 43.851929 -79.396042
    Unten rechts KachelX + 1 40752 KachelY + 1 57564 0.76545641 -1.38572234 43.857422 -79.396042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38570470--1.38572234) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38570470--1.38572234) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76536054-0.76545641) × cos(-1.38570470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184036596053989 × 6371000     		do = 112.407302102205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76536054-0.76545641) × cos(-1.38572234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184019257327281 × 6371000     		du = 112.396711819984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38570470)-sin(-1.38572234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184036596053989-0.184019257327281)×R²
    abs(0.76545641-0.76536054)×1.73387267086156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73387267086156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73387267086156e-05×40589641000000     		ar = 12632.2366076223m²