Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40750 / 57534
↖ ↑ ↗
← S 79.365674°
E 43.846436°		 ← 112.71 m → S 79.365674°
E 43.851929°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
S 79.366687°
E 43.846436°		 ← 112.70 m →
12 703 m²		 S 79.366687°
E 43.851929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621803283691406 y=0.877906799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621803283691406 × 216)
    floor (0.621803283691406 × 65536)
    floor (40750.5)     		tx = 40750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877906799316406 × 216)
    floor (0.877906799316406 × 65536)
    floor (57534.5)     		ty = 57534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40750 / 57534 ti = "16/40750/57534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40750/57534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40750 ÷ 216
    40750 ÷ 65536     		x = 0.621795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57534 ÷ 216
    57534 ÷ 65536     		y = 0.877899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621795654296875 × 2 - 1) × π
    0.24359130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76526467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877899169921875 × 2 - 1) × π
    -0.75579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37441051198062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76526467} λ = 0.76526467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37441051198062))-π/2
    2×atan(0.0930693363019451)-π/2
    2×0.0928020051533691-π/2
    0.185604010306738-1.57079632675     		φ = -1.38519232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76526467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.846436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38519232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.365674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40750 KachelY 57534 0.76526467 -1.38519232 43.846436 -79.365674
    Oben rechts KachelX + 1 40751 KachelY 57534 0.76536054 -1.38519232 43.851929 -79.365674
    Unten links KachelX 40750 KachelY + 1 57535 0.76526467 -1.38521001 43.846436 -79.366687
    Unten rechts KachelX + 1 40751 KachelY + 1 57535 0.76536054 -1.38521001 43.851929 -79.366687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38519232--1.38521001) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38519232--1.38521001) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76526467-0.76536054) × cos(-1.38519232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184540200112199 × 6371000     		do = 112.714897301882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76526467-0.76536054) × cos(-1.38521001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18452281390967 × 6371000     		du = 112.70427802201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38519232)-sin(-1.38521001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184540200112199-0.18452281390967)×R²
    abs(0.76536054-0.76526467)×1.73862025289739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73862025289739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73862025289739e-05×40589641000000     		ar = 12702.7075318594m²