Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40750 / 57434
↖ ↑ ↗
← S 79.263824°
E 43.846436°		 ← 113.78 m → S 79.263824°
E 43.851929°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
S 79.264847°
E 43.846436°		 ← 113.77 m →
12 946 m²		 S 79.264847°
E 43.851929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621803283691406 y=0.876380920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621803283691406 × 216)
    floor (0.621803283691406 × 65536)
    floor (40750.5)     		tx = 40750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876380920410156 × 216)
    floor (0.876380920410156 × 65536)
    floor (57434.5)     		ty = 57434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40750 / 57434 ti = "16/40750/57434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40750/57434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40750 ÷ 216
    40750 ÷ 65536     		x = 0.621795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57434 ÷ 216
    57434 ÷ 65536     		y = 0.876373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621795654296875 × 2 - 1) × π
    0.24359130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76526467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.75274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36482313205661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76526467} λ = 0.76526467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36482313205661))-π/2
    2×atan(0.0939659184575786)-π/2
    2×0.0936908141311664-π/2
    0.187381628262333-1.57079632675     		φ = -1.38341470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76526467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.846436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38341470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.263824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40750 KachelY 57434 0.76526467 -1.38341470 43.846436 -79.263824
    Oben rechts KachelX + 1 40751 KachelY 57434 0.76536054 -1.38341470 43.851929 -79.263824
    Unten links KachelX 40750 KachelY + 1 57435 0.76526467 -1.38343256 43.846436 -79.264847
    Unten rechts KachelX + 1 40751 KachelY + 1 57435 0.76536054 -1.38343256 43.851929 -79.264847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38341470--1.38343256) × R
    1.78599999998141e-05 × 6371000     		dl = 113.786059998816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38341470--1.38343256) × R
    1.78599999998141e-05 × 6371000     		dr = 113.786059998816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76526467-0.76536054) × cos(-1.38341470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186286996941579 × 6371000     		do = 113.781819441942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76526467-0.76536054) × cos(-1.38343256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186269449544537 × 6371000     		du = 113.771101706433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38341470)-sin(-1.38343256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186286996941579-0.186269449544537)×R²
    abs(0.76536054-0.76526467)×1.75473970424889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75473970424889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75473970424889e-05×40589641000000     		ar = 12946.1751699363m²