Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40750 / 10028
↖ ↑ ↗
← N 77.103328°
E 43.846436°		 ← 136.32 m → N 77.103328°
E 43.851929°		 →
↑
136.34 m
↓
↑
136.34 m
↓
N 77.102101°
E 43.846436°		 ← 136.34 m →
18 587 m²		 N 77.102101°
E 43.851929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621803283691406 y=0.153022766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621803283691406 × 216)
    floor (0.621803283691406 × 65536)
    floor (40750.5)     		tx = 40750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153022766113281 × 216)
    floor (0.153022766113281 × 65536)
    floor (10028.5)     		ty = 10028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40750 / 10028 ti = "16/40750/10028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40750/10028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40750 ÷ 216
    40750 ÷ 65536     		x = 0.621795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10028 ÷ 216
    10028 ÷ 65536     		y = 0.15301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621795654296875 × 2 - 1) × π
    0.24359130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76526467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15301513671875 × 2 - 1) × π
    0.6939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18017019472015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76526467} λ = 0.76526467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18017019472015))-π/2
    2×atan(8.84781198146838)-π/2
    2×1.45825162879133-π/2
    2.91650325758265-1.57079632675     		φ = 1.34570693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76526467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.846436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34570693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.103328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40750 KachelY 10028 0.76526467 1.34570693 43.846436 77.103328
    Oben rechts KachelX + 1 40751 KachelY 10028 0.76536054 1.34570693 43.851929 77.103328
    Unten links KachelX 40750 KachelY + 1 10029 0.76526467 1.34568553 43.846436 77.102101
    Unten rechts KachelX + 1 40751 KachelY + 1 10029 0.76536054 1.34568553 43.851929 77.102101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34570693-1.34568553) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dl = 136.339400000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34570693-1.34568553) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dr = 136.339400000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76526467-0.76536054) × cos(1.34570693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223193504708976 × 6371000     		do = 136.323863019677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76526467-0.76536054) × cos(1.34568553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223214364824853 × 6371000     		du = 136.336604123335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34570693)-sin(1.34568553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223193504708976-0.223214364824853)×R²
    abs(0.76536054-0.76526467)×2.08601158766808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.08601158766808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08601158766808e-05×40589641000000     		ar = 18587.1822476042m²