Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4075 / 3851
↖ ↑ ↗
← N 79.665527°
W135.230713°		 ← 219.15 m → N 79.665527°
W135.219726°		 →
↑
219.23 m
↓
↑
219.23 m
↓
N 79.663556°
W135.230713°		 ← 219.20 m →
48 049 m²		 N 79.663556°
W135.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124374389648438 y=0.117538452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124374389648438 × 215)
    floor (0.124374389648438 × 32768)
    floor (4075.5)     		tx = 4075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117538452148438 × 215)
    floor (0.117538452148438 × 32768)
    floor (3851.5)     		ty = 3851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4075 / 3851 ti = "15/4075/3851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4075/3851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4075 ÷ 215
    4075 ÷ 32768     		x = 0.124359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3851 ÷ 215
    3851 ÷ 32768     		y = 0.117523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.75128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.36022119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117523193359375 × 2 - 1) × π
    0.76495361328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.40317265175266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36022119} λ = -2.36022119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40317265175266))-π/2
    2×atan(11.0582046173217)-π/2
    2×1.48061103592428-π/2
    2.96122207184857-1.57079632675     		φ = 1.39042575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36022119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.230713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39042575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.665527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4075 KachelY 3851 -2.36022119 1.39042575 -135.230713 79.665527
    Oben rechts KachelX + 1 4076 KachelY 3851 -2.36002944 1.39042575 -135.219726 79.665527
    Unten links KachelX 4075 KachelY + 1 3852 -2.36022119 1.39039134 -135.230713 79.663556
    Unten rechts KachelX + 1 4076 KachelY + 1 3852 -2.36002944 1.39039134 -135.219726 79.663556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39042575-1.39039134) × R
    3.44099999998182e-05 × 6371000     		dl = 219.226109998842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39042575-1.39039134) × R
    3.44099999998182e-05 × 6371000     		dr = 219.226109998842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36022119--2.36002944) × cos(1.39042575) × R
    0.000191749999999935 × 0.179394150767021 × 6371000     		do = 219.154935797336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36022119--2.36002944) × cos(1.39039134) × R
    0.000191749999999935 × 0.179428002437049 × 6371000     		du = 219.19629032612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39042575)-sin(1.39039134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179394150767021-0.179428002437049)×R²
    abs(-2.36002944--2.36022119)×3.38516700277292e-05×R²
    0.000191749999999935×3.38516700277292e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.38516700277292e-05×40589641000000     		ar = 48049.0170626636m²