Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40749 / 10029
↖ ↑ ↗
← N 77.102101°
E 43.840942°		 ← 136.35 m → N 77.102101°
E 43.846436°		 →
↑
136.34 m
↓
↑
136.34 m
↓
N 77.100875°
E 43.840942°		 ← 136.36 m →
18 591 m²		 N 77.100875°
E 43.846436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621788024902344 y=0.153038024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621788024902344 × 216)
    floor (0.621788024902344 × 65536)
    floor (40749.5)     		tx = 40749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153038024902344 × 216)
    floor (0.153038024902344 × 65536)
    floor (10029.5)     		ty = 10029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40749 / 10029 ti = "16/40749/10029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40749/10029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40749 ÷ 216
    40749 ÷ 65536     		x = 0.621780395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10029 ÷ 216
    10029 ÷ 65536     		y = 0.153030395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621780395507812 × 2 - 1) × π
    0.243560791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76516879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153030395507812 × 2 - 1) × π
    0.693939208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18007432092091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76516879} λ = 0.76516879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18007432092091))-π/2
    2×atan(8.84696374878104)-π/2
    2×1.45824092908677-π/2
    2.91648185817354-1.57079632675     		φ = 1.34568553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76516879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.840942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34568553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.102101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40749 KachelY 10029 0.76516879 1.34568553 43.840942 77.102101
    Oben rechts KachelX + 1 40750 KachelY 10029 0.76526467 1.34568553 43.846436 77.102101
    Unten links KachelX 40749 KachelY + 1 10030 0.76516879 1.34566413 43.840942 77.100875
    Unten rechts KachelX + 1 40750 KachelY + 1 10030 0.76526467 1.34566413 43.846436 77.100875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34568553-1.34566413) × R
    2.13999999998382e-05 × 6371000     		dl = 136.339399998969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34568553-1.34566413) × R
    2.13999999998382e-05 × 6371000     		dr = 136.339399998969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76516879-0.76526467) × cos(1.34568553) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.223214364824853 × 6371000     		do = 136.350825110432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76516879-0.76526467) × cos(1.34566413) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.223235224838506 × 6371000     		du = 136.363567480645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34568553)-sin(1.34566413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223214364824853-0.223235224838506)×R²
    abs(0.76526467-0.76516879)×2.08600136532011e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.08600136532011e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.08600136532011e-05×40589641000000     		ar = 18590.858329541m²