Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40749 / 10024
↖ ↑ ↗
← N 77.108231°
E 43.840942°		 ← 136.29 m → N 77.108231°
E 43.846436°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
N 77.107005°
E 43.840942°		 ← 136.30 m →
18 573 m²		 N 77.107005°
E 43.846436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621788024902344 y=0.152961730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621788024902344 × 216)
    floor (0.621788024902344 × 65536)
    floor (40749.5)     		tx = 40749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152961730957031 × 216)
    floor (0.152961730957031 × 65536)
    floor (10024.5)     		ty = 10024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40749 / 10024 ti = "16/40749/10024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40749/10024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40749 ÷ 216
    40749 ÷ 65536     		x = 0.621780395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10024 ÷ 216
    10024 ÷ 65536     		y = 0.1529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621780395507812 × 2 - 1) × π
    0.243560791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76516879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1529541015625 × 2 - 1) × π
    0.694091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18055368991711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76516879} λ = 0.76516879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18055368991711))-π/2
    2×atan(8.85120572556757)-π/2
    2×1.45829441761147-π/2
    2.91658883522294-1.57079632675     		φ = 1.34579251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76516879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.840942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34579251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.108231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40749 KachelY 10024 0.76516879 1.34579251 43.840942 77.108231
    Oben rechts KachelX + 1 40750 KachelY 10024 0.76526467 1.34579251 43.846436 77.108231
    Unten links KachelX 40749 KachelY + 1 10025 0.76516879 1.34577112 43.840942 77.107005
    Unten rechts KachelX + 1 40750 KachelY + 1 10025 0.76526467 1.34577112 43.846436 77.107005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34579251-1.34577112) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dl = 136.275690000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34579251-1.34577112) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dr = 136.275690000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76516879-0.76526467) × cos(1.34579251) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.223110082719293 × 6371000     		do = 136.287124231913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76516879-0.76526467) × cos(1.34577112) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.223130933495987 × 6371000     		du = 136.299860959716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34579251)-sin(1.34577112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223110082719293-0.223130933495987)×R²
    abs(0.76526467-0.76516879)×2.08507766938648e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.08507766938648e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.08507766938648e-05×40589641000000     		ar = 18573.4897467692m²