Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40748 / 57556
↖ ↑ ↗
← S 79.387952°
E 43.835449°		 ← 112.48 m → S 79.387952°
E 43.840942°		 →
↑
112.45 m
↓
↑
112.45 m
↓
S 79.388963°
E 43.835449°		 ← 112.47 m →
12 648 m²		 S 79.388963°
E 43.840942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621772766113281 y=0.878242492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621772766113281 × 216)
    floor (0.621772766113281 × 65536)
    floor (40748.5)     		tx = 40748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878242492675781 × 216)
    floor (0.878242492675781 × 65536)
    floor (57556.5)     		ty = 57556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40748 / 57556 ti = "16/40748/57556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40748/57556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40748 ÷ 216
    40748 ÷ 65536     		x = 0.62176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57556 ÷ 216
    57556 ÷ 65536     		y = 0.87823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62176513671875 × 2 - 1) × π
    0.2435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76507292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.7564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.3765197355639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76507292} λ = 0.76507292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3765197355639))-π/2
    2×atan(0.0928732391420139)-π/2
    2×0.0926075884658511-π/2
    0.185215176931702-1.57079632675     		φ = -1.38558115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76507292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38558115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.387952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40748 KachelY 57556 0.76507292 -1.38558115 43.835449 -79.387952
    Oben rechts KachelX + 1 40749 KachelY 57556 0.76516879 -1.38558115 43.840942 -79.387952
    Unten links KachelX 40748 KachelY + 1 57557 0.76507292 -1.38559880 43.835449 -79.388963
    Unten rechts KachelX + 1 40749 KachelY + 1 57557 0.76516879 -1.38559880 43.840942 -79.388963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38558115--1.38559880) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dl = 112.448149999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38558115--1.38559880) × R
    1.76499999999802e-05 × 6371000     		dr = 112.448149999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76507292-0.76516879) × cos(-1.38558115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184158034339948 × 6371000     		do = 112.481475122078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76507292-0.76516879) × cos(-1.38559880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184140686185448 × 6371000     		du = 112.470879081477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38558115)-sin(-1.38559880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184158034339948-0.184140686185448)×R²
    abs(0.76516879-0.76507292)×1.73481545006626e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73481545006626e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73481545006626e-05×40589641000000     		ar = 12647.7380340964m²