Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40745 / 57449
↖ ↑ ↗
← S 79.279162°
E 43.818970°		 ← 113.62 m → S 79.279162°
E 43.824463°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
S 79.280184°
E 43.818970°		 ← 113.61 m →
12 906 m²		 S 79.280184°
E 43.824463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621726989746094 y=0.876609802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621726989746094 × 216)
    floor (0.621726989746094 × 65536)
    floor (40745.5)     		tx = 40745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876609802246094 × 216)
    floor (0.876609802246094 × 65536)
    floor (57449.5)     		ty = 57449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40745 / 57449 ti = "16/40745/57449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40745/57449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40745 ÷ 216
    40745 ÷ 65536     		x = 0.621719360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57449 ÷ 216
    57449 ÷ 65536     		y = 0.876602172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621719360351562 × 2 - 1) × π
    0.243438720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76478530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876602172851562 × 2 - 1) × π
    -0.753204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36626123904521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76478530} λ = 0.76478530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36626123904521))-π/2
    2×atan(0.0938308825348793)-π/2
    2×0.0935569584025245-π/2
    0.187113916805049-1.57079632675     		φ = -1.38368241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76478530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.818970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38368241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.279162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40745 KachelY 57449 0.76478530 -1.38368241 43.818970 -79.279162
    Oben rechts KachelX + 1 40746 KachelY 57449 0.76488117 -1.38368241 43.824463 -79.279162
    Unten links KachelX 40745 KachelY + 1 57450 0.76478530 -1.38370024 43.818970 -79.280184
    Unten rechts KachelX + 1 40746 KachelY + 1 57450 0.76488117 -1.38370024 43.824463 -79.280184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38368241--1.38370024) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38368241--1.38370024) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76478530-0.76488117) × cos(-1.38368241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186023966433383 × 6371000     		do = 113.621163624398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76478530-0.76488117) × cos(-1.38370024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186006447622772 × 6371000     		du = 113.610463349132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38368241)-sin(-1.38370024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186023966433383-0.186006447622772)×R²
    abs(0.76488117-0.76478530)×1.75188106102675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75188106102675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75188106102675e-05×40589641000000     		ar = 12906.1803802467m²