Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40744 / 57448
↖ ↑ ↗
← S 79.278140°
E 43.813476°		 ← 113.64 m → S 79.278140°
E 43.818970°		 →
↑
113.66 m
↓
↑
113.66 m
↓
S 79.279162°
E 43.813476°		 ← 113.63 m →
12 916 m²		 S 79.279162°
E 43.818970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621711730957031 y=0.876594543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621711730957031 × 216)
    floor (0.621711730957031 × 65536)
    floor (40744.5)     		tx = 40744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876594543457031 × 216)
    floor (0.876594543457031 × 65536)
    floor (57448.5)     		ty = 57448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40744 / 57448 ti = "16/40744/57448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40744/57448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40744 ÷ 216
    40744 ÷ 65536     		x = 0.6217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57448 ÷ 216
    57448 ÷ 65536     		y = 0.8765869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6217041015625 × 2 - 1) × π
    0.243408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76468942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8765869140625 × 2 - 1) × π
    -0.753173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36616536524597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76468942} λ = 0.76468942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36616536524597))-π/2
    2×atan(0.0938398788893245)-π/2
    2×0.0935658762347551-π/2
    0.18713175246951-1.57079632675     		φ = -1.38366457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76468942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.813476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38366457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.278140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40744 KachelY 57448 0.76468942 -1.38366457 43.813476 -79.278140
    Oben rechts KachelX + 1 40745 KachelY 57448 0.76478530 -1.38366457 43.818970 -79.278140
    Unten links KachelX 40744 KachelY + 1 57449 0.76468942 -1.38368241 43.813476 -79.279162
    Unten rechts KachelX + 1 40745 KachelY + 1 57449 0.76478530 -1.38368241 43.818970 -79.279162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38366457--1.38368241) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dl = 113.65863999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38366457--1.38368241) × R
    1.78399999999357e-05 × 6371000     		dr = 113.65863999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76468942-0.76478530) × cos(-1.38366457) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186041495010273 × 6371000     		do = 113.643722568495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76468942-0.76478530) × cos(-1.38368241) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186023966433383 × 6371000     		du = 113.633015211359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38366457)-sin(-1.38368241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186041495010273-0.186023966433383)×R²
    abs(0.76478530-0.76468942)×1.75285768903854e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.75285768903854e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.75285768903854e-05×40589641000000     		ar = 12915.9824600596m²