Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40744 / 57432
↖ ↑ ↗
← S 79.261777°
E 43.813476°		 ← 113.82 m → S 79.261777°
E 43.818970°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
S 79.262800°
E 43.813476°		 ← 113.80 m →
12 950 m²		 S 79.262800°
E 43.818970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621711730957031 y=0.876350402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621711730957031 × 216)
    floor (0.621711730957031 × 65536)
    floor (40744.5)     		tx = 40744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876350402832031 × 216)
    floor (0.876350402832031 × 65536)
    floor (57432.5)     		ty = 57432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40744 / 57432 ti = "16/40744/57432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40744/57432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40744 ÷ 216
    40744 ÷ 65536     		x = 0.6217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57432 ÷ 216
    57432 ÷ 65536     		y = 0.8763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6217041015625 × 2 - 1) × π
    0.243408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76468942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.752685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36463138445813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76468942} λ = 0.76468942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36463138445813))-π/2
    2×atan(0.0939839379243213)-π/2
    2×0.0937086758558891-π/2
    0.187417351711778-1.57079632675     		φ = -1.38337898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76468942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.813476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38337898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.261777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40744 KachelY 57432 0.76468942 -1.38337898 43.813476 -79.261777
    Oben rechts KachelX + 1 40745 KachelY 57432 0.76478530 -1.38337898 43.818970 -79.261777
    Unten links KachelX 40744 KachelY + 1 57433 0.76468942 -1.38339684 43.813476 -79.262800
    Unten rechts KachelX + 1 40745 KachelY + 1 57433 0.76478530 -1.38339684 43.818970 -79.262800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38337898--1.38339684) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38337898--1.38339684) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76468942-0.76478530) × cos(-1.38337898) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.186322091557394 × 6371000     		do = 113.815125384587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76468942-0.76478530) × cos(-1.38339684) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.1863045442792 × 6371000     		du = 113.804406603732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38337898)-sin(-1.38339684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186322091557394-0.1863045442792)×R²
    abs(0.76478530-0.76468942)×1.75472781936137e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.75472781936137e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.75472781936137e-05×40589641000000     		ar = 12949.9648622247m²