Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40743 / 57433
↖ ↑ ↗
← S 79.262800°
E 43.807983°		 ← 113.79 m → S 79.262800°
E 43.813476°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
S 79.263824°
E 43.807983°		 ← 113.78 m →
12 947 m²		 S 79.263824°
E 43.813476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621696472167969 y=0.876365661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621696472167969 × 216)
    floor (0.621696472167969 × 65536)
    floor (40743.5)     		tx = 40743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876365661621094 × 216)
    floor (0.876365661621094 × 65536)
    floor (57433.5)     		ty = 57433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40743 / 57433 ti = "16/40743/57433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40743/57433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40743 ÷ 216
    40743 ÷ 65536     		x = 0.621688842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57433 ÷ 216
    57433 ÷ 65536     		y = 0.876358032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621688842773438 × 2 - 1) × π
    0.243377685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76459355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876358032226562 × 2 - 1) × π
    -0.752716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36472725825737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76459355} λ = 0.76459355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36472725825737))-π/2
    2×atan(0.0939749277590513)-π/2
    2×0.0936997445729054-π/2
    0.187399489145811-1.57079632675     		φ = -1.38339684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76459355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.807983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38339684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.262800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40743 KachelY 57433 0.76459355 -1.38339684 43.807983 -79.262800
    Oben rechts KachelX + 1 40744 KachelY 57433 0.76468942 -1.38339684 43.813476 -79.262800
    Unten links KachelX 40743 KachelY + 1 57434 0.76459355 -1.38341470 43.807983 -79.263824
    Unten rechts KachelX + 1 40744 KachelY + 1 57434 0.76468942 -1.38341470 43.813476 -79.263824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38339684--1.38341470) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38339684--1.38341470) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76459355-0.76468942) × cos(-1.38339684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1863045442792 × 6371000     		do = 113.792537141157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76459355-0.76468942) × cos(-1.38341470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186286996941579 × 6371000     		du = 113.781819441942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38339684)-sin(-1.38341470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1863045442792-0.186286996941579)×R²
    abs(0.76468942-0.76459355)×1.75473376209656e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75473376209656e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75473376209656e-05×40589641000000     		ar = 12947.3946967488m²