Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40742 / 9762
↖ ↑ ↗
← N 77.425432°
E 43.802491°		 ← 132.97 m → N 77.425432°
E 43.807983°		 →
↑
132.96 m
↓
↑
132.96 m
↓
N 77.424236°
E 43.802491°		 ← 132.99 m →
17 682 m²		 N 77.424236°
E 43.807983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621681213378906 y=0.148963928222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621681213378906 × 216)
    floor (0.621681213378906 × 65536)
    floor (40742.5)     		tx = 40742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148963928222656 × 216)
    floor (0.148963928222656 × 65536)
    floor (9762.5)     		ty = 9762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40742 / 9762 ti = "16/40742/9762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40742/9762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40742 ÷ 216
    40742 ÷ 65536     		x = 0.621673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9762 ÷ 216
    9762 ÷ 65536     		y = 0.148956298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621673583984375 × 2 - 1) × π
    0.24334716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76449768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148956298828125 × 2 - 1) × π
    0.70208740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20567262531802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76449768} λ = 0.76449768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20567262531802))-π/2
    2×atan(9.07635450096537)-π/2
    2×1.4610625192573-π/2
    2.9221250385146-1.57079632675     		φ = 1.35132871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76449768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.802491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35132871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.425432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40742 KachelY 9762 0.76449768 1.35132871 43.802491 77.425432
    Oben rechts KachelX + 1 40743 KachelY 9762 0.76459355 1.35132871 43.807983 77.425432
    Unten links KachelX 40742 KachelY + 1 9763 0.76449768 1.35130784 43.802491 77.424236
    Unten rechts KachelX + 1 40743 KachelY + 1 9763 0.76459355 1.35130784 43.807983 77.424236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35132871-1.35130784) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dl = 132.962769999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35132871-1.35130784) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dr = 132.962769999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76449768-0.76459355) × cos(1.35132871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21771004076687 × 6371000     		do = 132.974630306603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76449768-0.76459355) × cos(1.35130784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217730410121051 × 6371000     		du = 132.987071659019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35132871)-sin(1.35130784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21771004076687-0.217730410121051)×R²
    abs(0.76459355-0.76449768)×2.03693541808714e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03693541808714e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03693541808714e-05×40589641000000     		ar = 17681.5023041625m²