Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40740 / 9766
↖ ↑ ↗
← N 77.420648°
E 43.791504°		 ← 133.02 m → N 77.420648°
E 43.796997°		 →
↑
133.09 m
↓
↑
133.09 m
↓
N 77.419451°
E 43.791504°		 ← 133.04 m →
17 705 m²		 N 77.419451°
E 43.796997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621650695800781 y=0.149024963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621650695800781 × 216)
    floor (0.621650695800781 × 65536)
    floor (40740.5)     		tx = 40740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149024963378906 × 216)
    floor (0.149024963378906 × 65536)
    floor (9766.5)     		ty = 9766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40740 / 9766 ti = "16/40740/9766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40740/9766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40740 ÷ 216
    40740 ÷ 65536     		x = 0.62164306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9766 ÷ 216
    9766 ÷ 65536     		y = 0.149017333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62164306640625 × 2 - 1) × π
    0.2432861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76430593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149017333984375 × 2 - 1) × π
    0.70196533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20528913012106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76430593} λ = 0.76430593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20528913012106))-π/2
    2×atan(9.07287442994624)-π/2
    2×1.46102076606664-π/2
    2.92204153213328-1.57079632675     		φ = 1.35124521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76430593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.791504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35124521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.420648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40740 KachelY 9766 0.76430593 1.35124521 43.791504 77.420648
    Oben rechts KachelX + 1 40741 KachelY 9766 0.76440180 1.35124521 43.796997 77.420648
    Unten links KachelX 40740 KachelY + 1 9767 0.76430593 1.35122432 43.791504 77.419451
    Unten rechts KachelX + 1 40741 KachelY + 1 9767 0.76440180 1.35122432 43.796997 77.419451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35124521-1.35122432) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dl = 133.090190000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35124521-1.35122432) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dr = 133.090190000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76430593-0.76440180) × cos(1.35124521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217791537134461 × 6371000     		do = 133.024407291227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76430593-0.76440180) × cos(1.35122432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217811925628977 × 6371000     		du = 133.036860334326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35124521)-sin(1.35122432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217791537134461-0.217811925628977)×R²
    abs(0.76440180-0.76430593)×2.03884945161603e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03884945161603e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03884945161603e-05×40589641000000     		ar = 17705.072330804m²