Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40739 / 9763
↖ ↑ ↗
← N 77.424236°
E 43.786011°		 ← 133 m → N 77.424236°
E 43.791504°		 →
↑
133.03 m
↓
↑
133.03 m
↓
N 77.423040°
E 43.786011°		 ← 133.01 m →
17 693 m²		 N 77.423040°
E 43.791504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621635437011719 y=0.148979187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621635437011719 × 216)
    floor (0.621635437011719 × 65536)
    floor (40739.5)     		tx = 40739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148979187011719 × 216)
    floor (0.148979187011719 × 65536)
    floor (9763.5)     		ty = 9763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40739 / 9763 ti = "16/40739/9763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40739/9763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40739 ÷ 216
    40739 ÷ 65536     		x = 0.621627807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9763 ÷ 216
    9763 ÷ 65536     		y = 0.148971557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621627807617188 × 2 - 1) × π
    0.243255615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76421005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148971557617188 × 2 - 1) × π
    0.702056884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20557675151878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76421005} λ = 0.76421005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20557675151878))-π/2
    2×atan(9.07548435808872)-π/2
    2×1.46105208242471-π/2
    2.92210416484942-1.57079632675     		φ = 1.35130784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76421005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.786011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35130784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.424236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40739 KachelY 9763 0.76421005 1.35130784 43.786011 77.424236
    Oben rechts KachelX + 1 40740 KachelY 9763 0.76430593 1.35130784 43.791504 77.424236
    Unten links KachelX 40739 KachelY + 1 9764 0.76421005 1.35128696 43.786011 77.423040
    Unten rechts KachelX + 1 40740 KachelY + 1 9764 0.76430593 1.35128696 43.791504 77.423040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35130784-1.35128696) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dl = 133.026480000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35130784-1.35128696) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dr = 133.026480000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76421005-0.76430593) × cos(1.35130784) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217730410121051 × 6371000     		do = 133.000943263518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76421005-0.76430593) × cos(1.35128696) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217750789140442 × 6371000     		du = 133.013391817674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35130784)-sin(1.35128696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217730410121051-0.217750789140442)×R²
    abs(0.76430593-0.76421005)×2.03790193910869e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.03790193910869e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.03790193910869e-05×40589641000000     		ar = 17693.4753135025m²