Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40738 / 57446
↖ ↑ ↗
← S 79.276096°
E 43.780518°		 ← 113.65 m → S 79.276096°
E 43.786011°		 →
↑
113.66 m
↓
↑
113.66 m
↓
S 79.277119°
E 43.780518°		 ← 113.64 m →
12 917 m²		 S 79.277119°
E 43.786011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621620178222656 y=0.876564025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621620178222656 × 216)
    floor (0.621620178222656 × 65536)
    floor (40738.5)     		tx = 40738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876564025878906 × 216)
    floor (0.876564025878906 × 65536)
    floor (57446.5)     		ty = 57446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40738 / 57446 ti = "16/40738/57446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40738/57446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40738 ÷ 216
    40738 ÷ 65536     		x = 0.621612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57446 ÷ 216
    57446 ÷ 65536     		y = 0.876556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621612548828125 × 2 - 1) × π
    0.24322509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76411418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.75311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36597361764749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76411418} λ = 0.76411418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36597361764749))-π/2
    2×atan(0.0938578741859655)-π/2
    2×0.0935837144195915-π/2
    0.187167428839183-1.57079632675     		φ = -1.38362890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76411418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.780518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38362890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.276096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40738 KachelY 57446 0.76411418 -1.38362890 43.780518 -79.276096
    Oben rechts KachelX + 1 40739 KachelY 57446 0.76421005 -1.38362890 43.786011 -79.276096
    Unten links KachelX 40738 KachelY + 1 57447 0.76411418 -1.38364674 43.780518 -79.277119
    Unten rechts KachelX + 1 40739 KachelY + 1 57447 0.76421005 -1.38364674 43.786011 -79.277119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38362890--1.38364674) × R
    1.78400000001577e-05 × 6371000     		dl = 113.658640001005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38362890--1.38364674) × R
    1.78400000001577e-05 × 6371000     		dr = 113.658640001005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76411418-0.76421005) × cos(-1.38362890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186076542161064 × 6371000     		do = 113.653276235865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76411418-0.76421005) × cos(-1.38364674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186059013702567 × 6371000     		du = 113.642570067788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38362890)-sin(-1.38364674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186076542161064-0.186059013702567)×R²
    abs(0.76421005-0.76411418)×1.75284584970348e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75284584970348e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75284584970348e-05×40589641000000     		ar = 12917.0683843377m²