Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40737 / 57438
↖ ↑ ↗
← S 79.267916°
E 43.775025°		 ← 113.74 m → S 79.267916°
E 43.780518°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
S 79.268939°
E 43.775025°		 ← 113.73 m →
12 934 m²		 S 79.268939°
E 43.780518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621604919433594 y=0.876441955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621604919433594 × 216)
    floor (0.621604919433594 × 65536)
    floor (40737.5)     		tx = 40737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876441955566406 × 216)
    floor (0.876441955566406 × 65536)
    floor (57438.5)     		ty = 57438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40737 / 57438 ti = "16/40737/57438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40737/57438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40737 ÷ 216
    40737 ÷ 65536     		x = 0.621597290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57438 ÷ 216
    57438 ÷ 65536     		y = 0.876434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621597290039062 × 2 - 1) × π
    0.243194580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76401831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.75286865234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36520662725357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76401831} λ = 0.76401831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36520662725357))-π/2
    2×atan(0.0939298898880054)-π/2
    2×0.0936551007751306-π/2
    0.187310201550261-1.57079632675     		φ = -1.38348613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76401831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.775025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38348613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.267916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40737 KachelY 57438 0.76401831 -1.38348613 43.775025 -79.267916
    Oben rechts KachelX + 1 40738 KachelY 57438 0.76411418 -1.38348613 43.780518 -79.267916
    Unten links KachelX 40737 KachelY + 1 57439 0.76401831 -1.38350398 43.775025 -79.268939
    Unten rechts KachelX + 1 40738 KachelY + 1 57439 0.76411418 -1.38350398 43.780518 -79.268939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38348613--1.38350398) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dl = 113.722349999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38348613--1.38350398) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dr = 113.722349999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76401831-0.76411418) × cos(-1.38348613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186216816822021 × 6371000     		do = 113.738954283218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76401831-0.76411418) × cos(-1.38350398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186199279012501 × 6371000     		du = 113.728242403651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38348613)-sin(-1.38350398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186216816822021-0.186199279012501)×R²
    abs(0.76411418-0.76401831)×1.75378095203238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75378095203238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75378095203238e-05×40589641000000     		ar = 12934.0520779498m²