Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40736 / 57439
↖ ↑ ↗
← S 79.268939°
E 43.769531°		 ← 113.74 m → S 79.268939°
E 43.775025°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
S 79.269962°
E 43.769531°		 ← 113.73 m →
12 934 m²		 S 79.269962°
E 43.775025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621589660644531 y=0.876457214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621589660644531 × 216)
    floor (0.621589660644531 × 65536)
    floor (40736.5)     		tx = 40736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876457214355469 × 216)
    floor (0.876457214355469 × 65536)
    floor (57439.5)     		ty = 57439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40736 / 57439 ti = "16/40736/57439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40736/57439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40736 ÷ 216
    40736 ÷ 65536     		x = 0.62158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57439 ÷ 216
    57439 ÷ 65536     		y = 0.876449584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62158203125 × 2 - 1) × π
    0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876449584960938 × 2 - 1) × π
    -0.752899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36530250105281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76392243} λ = 0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36530250105281))-π/2
    2×atan(0.0939208849042775)-π/2
    2×0.0936461745384698-π/2
    0.18729234907694-1.57079632675     		φ = -1.38350398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38350398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.268939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40736 KachelY 57439 0.76392243 -1.38350398 43.769531 -79.268939
    Oben rechts KachelX + 1 40737 KachelY 57439 0.76401831 -1.38350398 43.775025 -79.268939
    Unten links KachelX 40736 KachelY + 1 57440 0.76392243 -1.38352183 43.769531 -79.269962
    Unten rechts KachelX + 1 40737 KachelY + 1 57440 0.76401831 -1.38352183 43.775025 -79.269962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38350398--1.38352183) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dl = 113.722350000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38350398--1.38352183) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dr = 113.722350000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76392243-0.76401831) × cos(-1.38350398) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186199279012501 × 6371000     		do = 113.740105159644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76392243-0.76401831) × cos(-1.38352183) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.186181741143653 × 6371000     		du = 113.729392126503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38350398)-sin(-1.38352183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186199279012501-0.186181741143653)×R²
    abs(0.76401831-0.76392243)×1.75378688478389e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.75378688478389e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.75378688478389e-05×40589641000000     		ar = 12934.1828925529m²