Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40732 / 57508
↖ ↑ ↗
← S 79.339285°
E 43.747559°		 ← 112.99 m → S 79.339285°
E 43.753052°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 79.340301°
E 43.747559°		 ← 112.98 m →
12 763 m²		 S 79.340301°
E 43.753052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621528625488281 y=0.877510070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621528625488281 × 216)
    floor (0.621528625488281 × 65536)
    floor (40732.5)     		tx = 40732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877510070800781 × 216)
    floor (0.877510070800781 × 65536)
    floor (57508.5)     		ty = 57508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40732 / 57508 ti = "16/40732/57508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40732/57508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40732 ÷ 216
    40732 ÷ 65536     		x = 0.62152099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57508 ÷ 216
    57508 ÷ 65536     		y = 0.87750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62152099609375 × 2 - 1) × π
    0.2430419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76353894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.7550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37191779320038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76353894} λ = 0.76353894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37191779320038))-π/2
    2×atan(0.0933016213748134)-π/2
    2×0.0930322905344244-π/2
    0.186064581068849-1.57079632675     		φ = -1.38473175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76353894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.747559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38473175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.339285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40732 KachelY 57508 0.76353894 -1.38473175 43.747559 -79.339285
    Oben rechts KachelX + 1 40733 KachelY 57508 0.76363481 -1.38473175 43.753052 -79.339285
    Unten links KachelX 40732 KachelY + 1 57509 0.76353894 -1.38474948 43.747559 -79.340301
    Unten rechts KachelX + 1 40733 KachelY + 1 57509 0.76363481 -1.38474948 43.753052 -79.340301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38473175--1.38474948) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38473175--1.38474948) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76353894-0.76363481) × cos(-1.38473175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184992840218193 × 6371000     		do = 112.991364342834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76353894-0.76363481) × cos(-1.38474948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18497541621125 × 6371000     		du = 112.980721972489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38473175)-sin(-1.38474948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184992840218193-0.18497541621125)×R²
    abs(0.76363481-0.76353894)×1.74240069434062e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74240069434062e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74240069434062e-05×40589641000000     		ar = 12762.6582558867m²