Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40732 / 10014
↖ ↑ ↗
← N 77.120481°
E 43.747559°		 ← 136.15 m → N 77.120481°
E 43.753052°		 →
↑
136.15 m
↓
↑
136.15 m
↓
N 77.119256°
E 43.747559°		 ← 136.16 m →
18 537 m²		 N 77.119256°
E 43.753052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621528625488281 y=0.152809143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621528625488281 × 216)
    floor (0.621528625488281 × 65536)
    floor (40732.5)     		tx = 40732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152809143066406 × 216)
    floor (0.152809143066406 × 65536)
    floor (10014.5)     		ty = 10014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40732 / 10014 ti = "16/40732/10014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40732/10014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40732 ÷ 216
    40732 ÷ 65536     		x = 0.62152099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10014 ÷ 216
    10014 ÷ 65536     		y = 0.152801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62152099609375 × 2 - 1) × π
    0.2430419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76353894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152801513671875 × 2 - 1) × π
    0.69439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18151242790952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76353894} λ = 0.76353894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18151242790952))-π/2
    2×atan(8.85969578199473)-π/2
    2×1.45840131970619-π/2
    2.91680263941237-1.57079632675     		φ = 1.34600631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76353894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.747559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34600631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.120481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40732 KachelY 10014 0.76353894 1.34600631 43.747559 77.120481
    Oben rechts KachelX + 1 40733 KachelY 10014 0.76363481 1.34600631 43.753052 77.120481
    Unten links KachelX 40732 KachelY + 1 10015 0.76353894 1.34598494 43.747559 77.119256
    Unten rechts KachelX + 1 40733 KachelY + 1 10015 0.76363481 1.34598494 43.753052 77.119256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34600631-1.34598494) × R
    2.13700000000205e-05 × 6371000     		dl = 136.148270000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34600631-1.34598494) × R
    2.13700000000205e-05 × 6371000     		dr = 136.148270000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76353894-0.76363481) × cos(1.34600631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222901666823623 × 6371000     		do = 136.145612008481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76353894-0.76363481) × cos(1.34598494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222922499123488 × 6371000     		du = 136.158336122459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34600631)-sin(1.34598494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222901666823623-0.222922499123488)×R²
    abs(0.76363481-0.76353894)×2.08322998645483e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.08322998645483e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08322998645483e-05×40589641000000     		ar = 18536.8557270061m²