Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40731 / 57507
↖ ↑ ↗
← S 79.338269°
E 43.742065°		 ← 113.01 m → S 79.338269°
E 43.747559°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
S 79.339285°
E 43.742065°		 ← 113 m →
12 772 m²		 S 79.339285°
E 43.747559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621513366699219 y=0.877494812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621513366699219 × 216)
    floor (0.621513366699219 × 65536)
    floor (40731.5)     		tx = 40731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877494812011719 × 216)
    floor (0.877494812011719 × 65536)
    floor (57507.5)     		ty = 57507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40731 / 57507 ti = "16/40731/57507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40731/57507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40731 ÷ 216
    40731 ÷ 65536     		x = 0.621505737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57507 ÷ 216
    57507 ÷ 65536     		y = 0.877487182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621505737304688 × 2 - 1) × π
    0.243011474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76344306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877487182617188 × 2 - 1) × π
    -0.754974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37182191940114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76344306} λ = 0.76344306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37182191940114))-π/2
    2×atan(0.0933105669845478)-π/2
    2×0.0930411589356167-π/2
    0.186082317871233-1.57079632675     		φ = -1.38471401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76344306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.742065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38471401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.338269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40731 KachelY 57507 0.76344306 -1.38471401 43.742065 -79.338269
    Oben rechts KachelX + 1 40732 KachelY 57507 0.76353894 -1.38471401 43.747559 -79.338269
    Unten links KachelX 40731 KachelY + 1 57508 0.76344306 -1.38473175 43.742065 -79.339285
    Unten rechts KachelX + 1 40732 KachelY + 1 57508 0.76353894 -1.38473175 43.747559 -79.339285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38471401--1.38473175) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dl = 113.021540000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38471401--1.38473175) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dr = 113.021540000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76344306-0.76353894) × cos(-1.38471401) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185010273994349 × 6371000     		do = 113.013799684711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76344306-0.76353894) × cos(-1.38473175) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.184992840218193 × 6371000     		du = 113.003150236744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38471401)-sin(-1.38473175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185010273994349-0.184992840218193)×R²
    abs(0.76353894-0.76344306)×1.74337761564003e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74337761564003e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74337761564003e-05×40589641000000     		ar = 12772.3918732912m²