Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40729 / 57481
↖ ↑ ↗
← S 79.311812°
E 43.731079°		 ← 113.28 m → S 79.311812°
E 43.736572°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
S 79.312832°
E 43.731079°		 ← 113.27 m →
12 838 m²		 S 79.312832°
E 43.736572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621482849121094 y=0.877098083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621482849121094 × 216)
    floor (0.621482849121094 × 65536)
    floor (40729.5)     		tx = 40729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877098083496094 × 216)
    floor (0.877098083496094 × 65536)
    floor (57481.5)     		ty = 57481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40729 / 57481 ti = "16/40729/57481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40729/57481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40729 ÷ 216
    40729 ÷ 65536     		x = 0.621475219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57481 ÷ 216
    57481 ÷ 65536     		y = 0.877090454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621475219726562 × 2 - 1) × π
    0.242950439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76325132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877090454101562 × 2 - 1) × π
    -0.754180908203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.3693292006209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76325132} λ = 0.76325132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3693292006209))-π/2
    2×atan(0.0935434541277532)-π/2
    2×0.0932720308874412-π/2
    0.186544061774882-1.57079632675     		φ = -1.38425226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76325132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.731079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38425226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.311812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40729 KachelY 57481 0.76325132 -1.38425226 43.731079 -79.311812
    Oben rechts KachelX + 1 40730 KachelY 57481 0.76334719 -1.38425226 43.736572 -79.311812
    Unten links KachelX 40729 KachelY + 1 57482 0.76325132 -1.38427005 43.731079 -79.312832
    Unten rechts KachelX + 1 40730 KachelY + 1 57482 0.76334719 -1.38427005 43.736572 -79.312832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38425226--1.38427005) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38425226--1.38427005) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76325132-0.76334719) × cos(-1.38425226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185464032873754 × 6371000     		do = 113.279163054164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76325132-0.76334719) × cos(-1.38427005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185446551482169 × 6371000     		du = 113.268485633982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38425226)-sin(-1.38427005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185464032873754-0.185446551482169)×R²
    abs(0.76334719-0.76325132)×1.74813915851391e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74813915851391e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74813915851391e-05×40589641000000     		ar = 12838.4654461115m²