Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40724 / 9784
↖ ↑ ↗
← N 77.399095°
E 43.703613°		 ← 133.25 m → N 77.399095°
E 43.709106°		 →
↑
133.28 m
↓
↑
133.28 m
↓
N 77.397896°
E 43.703613°		 ← 133.26 m →
17 760 m²		 N 77.397896°
E 43.709106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621406555175781 y=0.149299621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621406555175781 × 216)
    floor (0.621406555175781 × 65536)
    floor (40724.5)     		tx = 40724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149299621582031 × 216)
    floor (0.149299621582031 × 65536)
    floor (9784.5)     		ty = 9784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40724 / 9784 ti = "16/40724/9784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40724/9784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40724 ÷ 216
    40724 ÷ 65536     		x = 0.62139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9784 ÷ 216
    9784 ÷ 65536     		y = 0.1492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62139892578125 × 2 - 1) × π
    0.2427978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76277195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1492919921875 × 2 - 1) × π
    0.701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20356340173474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76277195} λ = 0.76277195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20356340173474))-π/2
    2×atan(9.05723061536685)-π/2
    2×1.46083268319839-π/2
    2.92166536639678-1.57079632675     		φ = 1.35086904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76277195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.703613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35086904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.399095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40724 KachelY 9784 0.76277195 1.35086904 43.703613 77.399095
    Oben rechts KachelX + 1 40725 KachelY 9784 0.76286782 1.35086904 43.709106 77.399095
    Unten links KachelX 40724 KachelY + 1 9785 0.76277195 1.35084812 43.703613 77.397896
    Unten rechts KachelX + 1 40725 KachelY + 1 9785 0.76286782 1.35084812 43.709106 77.397896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35086904-1.35084812) × R
    2.09200000000909e-05 × 6371000     		dl = 133.281320000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35086904-1.35084812) × R
    2.09200000000909e-05 × 6371000     		dr = 133.281320000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76277195-0.76286782) × cos(1.35086904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218158661872626 × 6371000     		do = 133.248642591362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76277195-0.76286782) × cos(1.35084812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218179077931434 × 6371000     		du = 133.261112470394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35086904)-sin(1.35084812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218158661872626-0.218179077931434)×R²
    abs(0.76286782-0.76277195)×2.04160588086755e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04160588086755e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04160588086755e-05×40589641000000     		ar = 17760.3859743659m²