Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40724 / 57464
↖ ↑ ↗
← S 79.294479°
E 43.703613°		 ← 113.46 m → S 79.294479°
E 43.709106°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 79.295500°
E 43.703613°		 ← 113.45 m →
12 873 m²		 S 79.295500°
E 43.709106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621406555175781 y=0.876838684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621406555175781 × 216)
    floor (0.621406555175781 × 65536)
    floor (40724.5)     		tx = 40724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876838684082031 × 216)
    floor (0.876838684082031 × 65536)
    floor (57464.5)     		ty = 57464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40724 / 57464 ti = "16/40724/57464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40724/57464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40724 ÷ 216
    40724 ÷ 65536     		x = 0.62139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57464 ÷ 216
    57464 ÷ 65536     		y = 0.8768310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62139892578125 × 2 - 1) × π
    0.2427978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76277195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36769934603381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76277195} λ = 0.76277195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36769934603381))-π/2
    2×atan(0.0936960406687138)-π/2
    2×0.0934232916791461-π/2
    0.186846583358292-1.57079632675     		φ = -1.38394974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76277195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.703613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38394974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.294479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40724 KachelY 57464 0.76277195 -1.38394974 43.703613 -79.294479
    Oben rechts KachelX + 1 40725 KachelY 57464 0.76286782 -1.38394974 43.709106 -79.294479
    Unten links KachelX 40724 KachelY + 1 57465 0.76277195 -1.38396755 43.703613 -79.295500
    Unten rechts KachelX + 1 40725 KachelY + 1 57465 0.76286782 -1.38396755 43.709106 -79.295500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38394974--1.38396755) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dl = 113.467509999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38394974--1.38396755) × R
    1.7809999999896e-05 × 6371000     		dr = 113.467509999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76277195-0.76286782) × cos(-1.38394974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185761295979177 × 6371000     		do = 113.460727723429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76277195-0.76286782) × cos(-1.38396755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185743795934516 × 6371000     		du = 113.450038910176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38394974)-sin(-1.38396755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185761295979177-0.185743795934516)×R²
    abs(0.76286782-0.76277195)×1.75000446602791e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75000446602791e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75000446602791e-05×40589641000000     		ar = 12873.4998413163m²