Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40721 / 10130
↖ ↑ ↗
← N 76.977674°
E 43.687134°		 ← 137.63 m → N 76.977674°
E 43.692627°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
N 76.976436°
E 43.687134°		 ← 137.64 m →
18 949 m²		 N 76.976436°
E 43.692627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621360778808594 y=0.154579162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621360778808594 × 216)
    floor (0.621360778808594 × 65536)
    floor (40721.5)     		tx = 40721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154579162597656 × 216)
    floor (0.154579162597656 × 65536)
    floor (10130.5)     		ty = 10130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40721 / 10130 ti = "16/40721/10130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40721/10130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40721 ÷ 216
    40721 ÷ 65536     		x = 0.621353149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10130 ÷ 216
    10130 ÷ 65536     		y = 0.154571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621353149414062 × 2 - 1) × π
    0.242706298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76248433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154571533203125 × 2 - 1) × π
    0.69085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17039106719766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76248433} λ = 0.76248433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17039106719766))-π/2
    2×atan(8.76170978814204)-π/2
    2×1.45715509276632-π/2
    2.91431018553264-1.57079632675     		φ = 1.34351386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76248433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.687134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34351386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.977674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40721 KachelY 10130 0.76248433 1.34351386 43.687134 76.977674
    Oben rechts KachelX + 1 40722 KachelY 10130 0.76258020 1.34351386 43.692627 76.977674
    Unten links KachelX 40721 KachelY + 1 10131 0.76248433 1.34349225 43.687134 76.976436
    Unten rechts KachelX + 1 40722 KachelY + 1 10131 0.76258020 1.34349225 43.692627 76.976436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34351386-1.34349225) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dl = 137.677310000741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34351386-1.34349225) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dr = 137.677310000741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76248433-0.76258020) × cos(1.34351386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225330714227836 × 6371000     		do = 137.629244455724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76248433-0.76258020) × cos(1.34349225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22535176841649 × 6371000     		du = 137.642104096662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34351386)-sin(1.34349225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225330714227836-0.22535176841649)×R²
    abs(0.76258020-0.76248433)×2.10541886543347e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10541886543347e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10541886543347e-05×40589641000000     		ar = 18949.3093952309m²