Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40720 / 10064
↖ ↑ ↗
← N 77.059116°
E 43.681641°		 ← 136.80 m → N 77.059116°
E 43.687134°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
N 77.057886°
E 43.681641°		 ← 136.81 m →
18 713 m²		 N 77.057886°
E 43.687134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621345520019531 y=0.153572082519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621345520019531 × 216)
    floor (0.621345520019531 × 65536)
    floor (40720.5)     		tx = 40720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153572082519531 × 216)
    floor (0.153572082519531 × 65536)
    floor (10064.5)     		ty = 10064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40720 / 10064 ti = "16/40720/10064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40720/10064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40720 ÷ 216
    40720 ÷ 65536     		x = 0.621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10064 ÷ 216
    10064 ÷ 65536     		y = 0.153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621337890625 × 2 - 1) × π
    0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153564453125 × 2 - 1) × π
    0.69287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17671873794751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76238845} λ = 0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17671873794751))-π/2
    2×atan(8.81732678032188)-π/2
    2×1.45786580880343-π/2
    2.91573161760686-1.57079632675     		φ = 1.34493529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34493529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.059116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40720 KachelY 10064 0.76238845 1.34493529 43.681641 77.059116
    Oben rechts KachelX + 1 40721 KachelY 10064 0.76248433 1.34493529 43.687134 77.059116
    Unten links KachelX 40720 KachelY + 1 10065 0.76238845 1.34491382 43.681641 77.057886
    Unten rechts KachelX + 1 40721 KachelY + 1 10065 0.76248433 1.34491382 43.687134 77.057886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34493529-1.34491382) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dl = 136.785370000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34493529-1.34491382) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dr = 136.785370000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76238845-0.76248433) × cos(1.34493529) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.22394561291789 × 6371000     		do = 136.797509090469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76238845-0.76248433) × cos(1.34491382) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.223966537563548 × 6371000     		du = 136.810290941237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34493529)-sin(1.34491382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22394561291789-0.223966537563548)×R²
    abs(0.76248433-0.76238845)×2.09246456576717e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09246456576717e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09246456576717e-05×40589641000000     		ar = 18712.7720818708m²