Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40719 / 10031
↖ ↑ ↗
← N 77.099649°
E 43.676148°		 ← 136.36 m → N 77.099649°
E 43.681641°		 →
↑
136.40 m
↓
↑
136.40 m
↓
N 77.098422°
E 43.676148°		 ← 136.37 m →
18 601 m²		 N 77.098422°
E 43.681641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621330261230469 y=0.153068542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621330261230469 × 216)
    floor (0.621330261230469 × 65536)
    floor (40719.5)     		tx = 40719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153068542480469 × 216)
    floor (0.153068542480469 × 65536)
    floor (10031.5)     		ty = 10031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40719 / 10031 ti = "16/40719/10031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40719/10031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40719 ÷ 216
    40719 ÷ 65536     		x = 0.621322631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10031 ÷ 216
    10031 ÷ 65536     		y = 0.153060913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621322631835938 × 2 - 1) × π
    0.242645263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76229258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153060913085938 × 2 - 1) × π
    0.693878173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17988257332243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76229258} λ = 0.76229258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17988257332243))-π/2
    2×atan(8.84526752735677)-π/2
    2×1.45821952667761-π/2
    2.91643905335521-1.57079632675     		φ = 1.34564273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76229258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.676148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34564273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.099649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40719 KachelY 10031 0.76229258 1.34564273 43.676148 77.099649
    Oben rechts KachelX + 1 40720 KachelY 10031 0.76238845 1.34564273 43.681641 77.099649
    Unten links KachelX 40719 KachelY + 1 10032 0.76229258 1.34562132 43.676148 77.098422
    Unten rechts KachelX + 1 40720 KachelY + 1 10032 0.76238845 1.34562132 43.681641 77.098422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34564273-1.34562132) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dl = 136.403109999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34564273-1.34562132) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dr = 136.403109999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76229258-0.76238845) × cos(1.34564273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223256084749927 × 6371000     		do = 136.362086143336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76229258-0.76238845) × cos(1.34562132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223276954306655 × 6371000     		du = 136.374833013351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34564273)-sin(1.34562132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223256084749927-0.223276954306655)×R²
    abs(0.76238845-0.76229258)×2.08695567286699e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.08695567286699e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08695567286699e-05×40589641000000     		ar = 18601.0819928338m²