Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40718 / 10034
↖ ↑ ↗
← N 77.095969°
E 43.670654°		 ← 136.41 m → N 77.095969°
E 43.676148°		 →
↑
136.40 m
↓
↑
136.40 m
↓
N 77.094742°
E 43.670654°		 ← 136.43 m →
18 608 m²		 N 77.094742°
E 43.676148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621315002441406 y=0.153114318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621315002441406 × 216)
    floor (0.621315002441406 × 65536)
    floor (40718.5)     		tx = 40718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153114318847656 × 216)
    floor (0.153114318847656 × 65536)
    floor (10034.5)     		ty = 10034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40718 / 10034 ti = "16/40718/10034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40718/10034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40718 ÷ 216
    40718 ÷ 65536     		x = 0.621307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10034 ÷ 216
    10034 ÷ 65536     		y = 0.153106689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621307373046875 × 2 - 1) × π
    0.24261474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76219670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153106689453125 × 2 - 1) × π
    0.69378662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17959495192471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76219670} λ = 0.76219670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17959495192471))-π/2
    2×atan(8.84272380497936)-π/2
    2×1.45818741556242-π/2
    2.91637483112484-1.57079632675     		φ = 1.34557850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76219670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.670654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34557850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.095969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40718 KachelY 10034 0.76219670 1.34557850 43.670654 77.095969
    Oben rechts KachelX + 1 40719 KachelY 10034 0.76229258 1.34557850 43.676148 77.095969
    Unten links KachelX 40718 KachelY + 1 10035 0.76219670 1.34555709 43.670654 77.094742
    Unten rechts KachelX + 1 40719 KachelY + 1 10035 0.76229258 1.34555709 43.676148 77.094742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34557850-1.34555709) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dl = 136.403109999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34557850-1.34555709) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dr = 136.403109999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76219670-0.76229258) × cos(1.34557850) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.223318693113061 × 6371000     		do = 136.414554199847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76219670-0.76229258) × cos(1.34555709) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.223339562362718 × 6371000     		du = 136.427302211887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34557850)-sin(1.34555709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223318693113061-0.223339562362718)×R²
    abs(0.76229258-0.76219670)×2.08692496574958e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.08692496574958e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.08692496574958e-05×40589641000000     		ar = 18608.238877199m²