Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40717 / 9782
↖ ↑ ↗
← N 77.401491°
E 43.665161°		 ← 133.22 m → N 77.401491°
E 43.670654°		 →
↑
133.28 m
↓
↑
133.28 m
↓
N 77.400293°
E 43.665161°		 ← 133.24 m →
17 757 m²		 N 77.400293°
E 43.670654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621299743652344 y=0.149269104003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621299743652344 × 216)
    floor (0.621299743652344 × 65536)
    floor (40717.5)     		tx = 40717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149269104003906 × 216)
    floor (0.149269104003906 × 65536)
    floor (9782.5)     		ty = 9782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40717 / 9782 ti = "16/40717/9782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40717/9782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40717 ÷ 216
    40717 ÷ 65536     		x = 0.621292114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9782 ÷ 216
    9782 ÷ 65536     		y = 0.149261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621292114257812 × 2 - 1) × π
    0.242584228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76210083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149261474609375 × 2 - 1) × π
    0.70147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20375514933322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76210083} λ = 0.76210083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20375514933322))-π/2
    2×atan(9.05896748410111)-π/2
    2×1.46085359694133-π/2
    2.92170719388265-1.57079632675     		φ = 1.35091087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76210083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.665161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35091087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.401491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40717 KachelY 9782 0.76210083 1.35091087 43.665161 77.401491
    Oben rechts KachelX + 1 40718 KachelY 9782 0.76219670 1.35091087 43.670654 77.401491
    Unten links KachelX 40717 KachelY + 1 9783 0.76210083 1.35088995 43.665161 77.400293
    Unten rechts KachelX + 1 40718 KachelY + 1 9783 0.76219670 1.35088995 43.670654 77.400293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35091087-1.35088995) × R
    2.09200000000909e-05 × 6371000     		dl = 133.281320000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35091087-1.35088995) × R
    2.09200000000909e-05 × 6371000     		dr = 133.281320000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76210083-0.76219670) × cos(1.35091087) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218117839227813 × 6371000     		do = 133.223708619171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76210083-0.76219670) × cos(1.35088995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21813825547752 × 6371000     		du = 133.236178614802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35091087)-sin(1.35088995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218117839227813-0.21813825547752)×R²
    abs(0.76219670-0.76210083)×2.04162497068061e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04162497068061e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04162497068061e-05×40589641000000     		ar = 17757.0627497611m²