Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40714 / 9788
↖ ↑ ↗
← N 77.394300°
E 43.648682°		 ← 133.30 m → N 77.394300°
E 43.654175°		 →
↑
133.28 m
↓
↑
133.28 m
↓
N 77.393102°
E 43.648682°		 ← 133.31 m →
17 767 m²		 N 77.393102°
E 43.654175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621253967285156 y=0.149360656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621253967285156 × 216)
    floor (0.621253967285156 × 65536)
    floor (40714.5)     		tx = 40714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149360656738281 × 216)
    floor (0.149360656738281 × 65536)
    floor (9788.5)     		ty = 9788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40714 / 9788 ti = "16/40714/9788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40714/9788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40714 ÷ 216
    40714 ÷ 65536     		x = 0.621246337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9788 ÷ 216
    9788 ÷ 65536     		y = 0.14935302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621246337890625 × 2 - 1) × π
    0.24249267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76181321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14935302734375 × 2 - 1) × π
    0.7012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20317990653778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76181321} λ = 0.76181321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20317990653778))-π/2
    2×atan(9.05375787685992)-π/2
    2×1.46079084397002-π/2
    2.92158168794003-1.57079632675     		φ = 1.35078536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76181321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.648682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35078536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.394300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40714 KachelY 9788 0.76181321 1.35078536 43.648682 77.394300
    Oben rechts KachelX + 1 40715 KachelY 9788 0.76190908 1.35078536 43.654175 77.394300
    Unten links KachelX 40714 KachelY + 1 9789 0.76181321 1.35076444 43.648682 77.393102
    Unten rechts KachelX + 1 40715 KachelY + 1 9789 0.76190908 1.35076444 43.654175 77.393102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35078536-1.35076444) × R
    2.09199999998688e-05 × 6371000     		dl = 133.281319999164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35078536-1.35076444) × R
    2.09199999998688e-05 × 6371000     		dr = 133.281319999164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76181321-0.76190908) × cos(1.35078536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218240325534913 × 6371000     		do = 133.298521757541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76181321-0.76190908) × cos(1.35076444) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218260741211727 × 6371000     		du = 133.310991403255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35078536)-sin(1.35076444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218240325534913-0.218260741211727)×R²
    abs(0.76190908-0.76181321)×2.04156768136843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04156768136843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04156768136843e-05×40589641000000     		ar = 17767.0339196757m²