Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40713 / 10143
↖ ↑ ↗
← N 76.961573°
E 43.643188°		 ← 137.81 m → N 76.961573°
E 43.648682°		 →
↑
137.87 m
↓
↑
137.87 m
↓
N 76.960333°
E 43.643188°		 ← 137.82 m →
19 001 m²		 N 76.960333°
E 43.648682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621238708496094 y=0.154777526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621238708496094 × 216)
    floor (0.621238708496094 × 65536)
    floor (40713.5)     		tx = 40713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154777526855469 × 216)
    floor (0.154777526855469 × 65536)
    floor (10143.5)     		ty = 10143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40713 / 10143 ti = "16/40713/10143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40713/10143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40713 ÷ 216
    40713 ÷ 65536     		x = 0.621231079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10143 ÷ 216
    10143 ÷ 65536     		y = 0.154769897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621231079101562 × 2 - 1) × π
    0.242462158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76171733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154769897460938 × 2 - 1) × π
    0.690460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16914470780754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76171733} λ = 0.76171733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16914470780754))-π/2
    2×atan(8.75079635131905)-π/2
    2×1.45701458594976-π/2
    2.91402917189951-1.57079632675     		φ = 1.34323285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76171733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.643188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34323285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.961573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40713 KachelY 10143 0.76171733 1.34323285 43.643188 76.961573
    Oben rechts KachelX + 1 40714 KachelY 10143 0.76181321 1.34323285 43.648682 76.961573
    Unten links KachelX 40713 KachelY + 1 10144 0.76171733 1.34321121 43.643188 76.960333
    Unten rechts KachelX + 1 40714 KachelY + 1 10144 0.76181321 1.34321121 43.648682 76.960333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34323285-1.34321121) × R
    2.16399999999339e-05 × 6371000     		dl = 137.868439999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34323285-1.34321121) × R
    2.16399999999339e-05 × 6371000     		dr = 137.868439999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76171733-0.76181321) × cos(1.34323285) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225604488406523 × 6371000     		do = 137.810835637837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76171733-0.76181321) × cos(1.34321121) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.225625570452356 × 6371000     		du = 137.823713636735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34323285)-sin(1.34321121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225604488406523-0.225625570452356)×R²
    abs(0.76181321-0.76171733)×2.10820458327043e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.10820458327043e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.10820458327043e-05×40589641000000     		ar = 19000.6526598999m²