Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40712 / 10144
↖ ↑ ↗
← N 76.960333°
E 43.637695°		 ← 137.81 m → N 76.960333°
E 43.643188°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
N 76.959094°
E 43.637695°		 ← 137.82 m →
18 992 m²		 N 76.959094°
E 43.643188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621223449707031 y=0.154792785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621223449707031 × 216)
    floor (0.621223449707031 × 65536)
    floor (40712.5)     		tx = 40712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154792785644531 × 216)
    floor (0.154792785644531 × 65536)
    floor (10144.5)     		ty = 10144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40712 / 10144 ti = "16/40712/10144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40712/10144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40712 ÷ 216
    40712 ÷ 65536     		x = 0.6212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10144 ÷ 216
    10144 ÷ 65536     		y = 0.15478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6212158203125 × 2 - 1) × π
    0.242431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76162146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15478515625 × 2 - 1) × π
    0.6904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1690488340083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76162146} λ = 0.76162146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1690488340083))-π/2
    2×atan(8.74995741944291)-π/2
    2×1.45700377066474-π/2
    2.91400754132947-1.57079632675     		φ = 1.34321121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76162146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34321121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.960333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40712 KachelY 10144 0.76162146 1.34321121 43.637695 76.960333
    Oben rechts KachelX + 1 40713 KachelY 10144 0.76171733 1.34321121 43.643188 76.960333
    Unten links KachelX 40712 KachelY + 1 10145 0.76162146 1.34318958 43.637695 76.959094
    Unten rechts KachelX + 1 40713 KachelY + 1 10145 0.76171733 1.34318958 43.643188 76.959094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34321121-1.34318958) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34321121-1.34318958) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76162146-0.76171733) × cos(1.34321121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225625570452356 × 6371000     		do = 137.809339031569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76162146-0.76171733) × cos(1.34318958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225646642650439 × 6371000     		du = 137.822209672445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34321121)-sin(1.34318958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225625570452356-0.225646642650439)×R²
    abs(0.76171733-0.76162146)×2.10721980825612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10721980825612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10721980825612e-05×40589641000000     		ar = 18991.6655752667m²