Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40711 / 9790
↖ ↑ ↗
← N 77.391902°
E 43.632202°		 ← 133.32 m → N 77.391902°
E 43.637695°		 →
↑
133.35 m
↓
↑
133.35 m
↓
N 77.390703°
E 43.632202°		 ← 133.34 m →
17 779 m²		 N 77.390703°
E 43.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621208190917969 y=0.149391174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621208190917969 × 216)
    floor (0.621208190917969 × 65536)
    floor (40711.5)     		tx = 40711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149391174316406 × 216)
    floor (0.149391174316406 × 65536)
    floor (9790.5)     		ty = 9790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40711 / 9790 ti = "16/40711/9790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40711/9790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40711 ÷ 216
    40711 ÷ 65536     		x = 0.621200561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9790 ÷ 216
    9790 ÷ 65536     		y = 0.149383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621200561523438 × 2 - 1) × π
    0.242401123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76152559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149383544921875 × 2 - 1) × π
    0.70123291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2029881589393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76152559} λ = 0.76152559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2029881589393))-π/2
    2×atan(9.05202200695958)-π/2
    2×1.46076991848319-π/2
    2.92153983696638-1.57079632675     		φ = 1.35074351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76152559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.632202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35074351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.391902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40711 KachelY 9790 0.76152559 1.35074351 43.632202 77.391902
    Oben rechts KachelX + 1 40712 KachelY 9790 0.76162146 1.35074351 43.637695 77.391902
    Unten links KachelX 40711 KachelY + 1 9791 0.76152559 1.35072258 43.632202 77.390703
    Unten rechts KachelX + 1 40712 KachelY + 1 9791 0.76162146 1.35072258 43.637695 77.390703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35074351-1.35072258) × R
    2.09300000000301e-05 × 6371000     		dl = 133.345030000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35074351-1.35072258) × R
    2.09300000000301e-05 × 6371000     		dr = 133.345030000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76152559-0.76162146) × cos(1.35074351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218281166551879 × 6371000     		do = 133.323466951218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76152559-0.76162146) × cos(1.35072258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.218301591796409 × 6371000     		du = 133.335942440776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35074351)-sin(1.35072258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218281166551879-0.218301591796409)×R²
    abs(0.76162146-0.76152559)×2.04252445307196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04252445307196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04252445307196e-05×40589641000000     		ar = 17778.8534735546m²