Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40701 / 9751
↖ ↑ ↗
← N 77.438580°
E 43.577271°		 ← 132.84 m → N 77.438580°
E 43.582763°		 →
↑
132.84 m
↓
↑
132.84 m
↓
N 77.437385°
E 43.577271°		 ← 132.85 m →
17 646 m²		 N 77.437385°
E 43.582763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621055603027344 y=0.148796081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621055603027344 × 216)
    floor (0.621055603027344 × 65536)
    floor (40701.5)     		tx = 40701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148796081542969 × 216)
    floor (0.148796081542969 × 65536)
    floor (9751.5)     		ty = 9751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40701 / 9751 ti = "16/40701/9751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40701/9751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40701 ÷ 216
    40701 ÷ 65536     		x = 0.621047973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9751 ÷ 216
    9751 ÷ 65536     		y = 0.148788452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621047973632812 × 2 - 1) × π
    0.242095947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76056685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148788452148438 × 2 - 1) × π
    0.702423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20672723710967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76056685} λ = 0.76056685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20672723710967))-π/2
    2×atan(9.08593158061012)-π/2
    2×1.46117725998116-π/2
    2.92235451996232-1.57079632675     		φ = 1.35155819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76056685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.577271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35155819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.438580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40701 KachelY 9751 0.76056685 1.35155819 43.577271 77.438580
    Oben rechts KachelX + 1 40702 KachelY 9751 0.76066272 1.35155819 43.582763 77.438580
    Unten links KachelX 40701 KachelY + 1 9752 0.76056685 1.35153734 43.577271 77.437385
    Unten rechts KachelX + 1 40702 KachelY + 1 9752 0.76066272 1.35153734 43.582763 77.437385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35155819-1.35153734) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dl = 132.83535000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35155819-1.35153734) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dr = 132.83535000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76056685-0.76066272) × cos(1.35155819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217486059460084 × 6371000     		do = 132.837825263709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76056685-0.76066272) × cos(1.35153734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217506410335267 × 6371000     		du = 132.85025532938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35155819)-sin(1.35153734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217486059460084-0.217506410335267)×R²
    abs(0.76066272-0.76056685)×2.03508751829007e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03508751829007e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03508751829007e-05×40589641000000     		ar = 17646.3845891847m²