Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40697 / 9765
↖ ↑ ↗
← N 77.421843°
E 43.555298°		 ← 133.03 m → N 77.421843°
E 43.560791°		 →
↑
132.96 m
↓
↑
132.96 m
↓
N 77.420648°
E 43.555298°		 ← 133.04 m →
17 688 m²		 N 77.420648°
E 43.560791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620994567871094 y=0.149009704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620994567871094 × 216)
    floor (0.620994567871094 × 65536)
    floor (40697.5)     		tx = 40697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149009704589844 × 216)
    floor (0.149009704589844 × 65536)
    floor (9765.5)     		ty = 9765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40697 / 9765 ti = "16/40697/9765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40697/9765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40697 ÷ 216
    40697 ÷ 65536     		x = 0.620986938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9765 ÷ 216
    9765 ÷ 65536     		y = 0.149002075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620986938476562 × 2 - 1) × π
    0.241973876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76018335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149002075195312 × 2 - 1) × π
    0.701995849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2053850039203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76018335} λ = 0.76018335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2053850039203))-π/2
    2×atan(9.07374432258716)-π/2
    2×1.46103120582947-π/2
    2.92206241165893-1.57079632675     		φ = 1.35126608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76018335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.555298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35126608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.421843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40697 KachelY 9765 0.76018335 1.35126608 43.555298 77.421843
    Oben rechts KachelX + 1 40698 KachelY 9765 0.76027923 1.35126608 43.560791 77.421843
    Unten links KachelX 40697 KachelY + 1 9766 0.76018335 1.35124521 43.555298 77.420648
    Unten rechts KachelX + 1 40698 KachelY + 1 9766 0.76027923 1.35124521 43.560791 77.420648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35126608-1.35124521) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dl = 132.962769999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35126608-1.35124521) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dr = 132.962769999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76018335-0.76027923) × cos(1.35126608) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.217771168064899 × 6371000     		do = 133.025840313685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76018335-0.76027923) × cos(1.35124521) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.217791537134461 × 6371000     		du = 133.038282789973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35126608)-sin(1.35124521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217771168064899-0.217791537134461)×R²
    abs(0.76027923-0.76018335)×2.03690695614045e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.03690695614045e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.03690695614045e-05×40589641000000     		ar = 17688.3114033075m²