Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40695 / 10198
↖ ↑ ↗
← N 76.893237°
E 43.544312°		 ← 138.51 m → N 76.893237°
E 43.549805°		 →
↑
138.51 m
↓
↑
138.51 m
↓
N 76.891991°
E 43.544312°		 ← 138.52 m →
19 185 m²		 N 76.891991°
E 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620964050292969 y=0.155616760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620964050292969 × 216)
    floor (0.620964050292969 × 65536)
    floor (40695.5)     		tx = 40695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155616760253906 × 216)
    floor (0.155616760253906 × 65536)
    floor (10198.5)     		ty = 10198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40695 / 10198 ti = "16/40695/10198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40695/10198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40695 ÷ 216
    40695 ÷ 65536     		x = 0.620956420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10198 ÷ 216
    10198 ÷ 65536     		y = 0.155609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620956420898438 × 2 - 1) × π
    0.241912841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75999161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155609130859375 × 2 - 1) × π
    0.68878173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16387164884933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75999161} λ = 0.75999161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16387164884933))-π/2
    2×atan(8.7047743312772)-π/2
    2×1.45641824276368-π/2
    2.91283648552736-1.57079632675     		φ = 1.34204016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75999161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.544312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34204016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.893237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40695 KachelY 10198 0.75999161 1.34204016 43.544312 76.893237
    Oben rechts KachelX + 1 40696 KachelY 10198 0.76008748 1.34204016 43.549805 76.893237
    Unten links KachelX 40695 KachelY + 1 10199 0.75999161 1.34201842 43.544312 76.891991
    Unten rechts KachelX + 1 40696 KachelY + 1 10199 0.76008748 1.34201842 43.549805 76.891991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34204016-1.34201842) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dl = 138.505539999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34204016-1.34201842) × R
    2.17399999999923e-05 × 6371000     		dr = 138.505539999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75999161-0.76008748) × cos(1.34204016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226766268900279 × 6371000     		do = 138.506063692819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75999161-0.76008748) × cos(1.34201842) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226787442502466 × 6371000     		du = 138.518996270081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34204016)-sin(1.34201842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226766268900279-0.226787442502466)×R²
    abs(0.76008748-0.75999161)×2.11736021869524e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11736021869524e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11736021869524e-05×40589641000000     		ar = 19184.752762721m²