Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40694 / 10199
↖ ↑ ↗
← N 76.891991°
E 43.538818°		 ← 138.53 m → N 76.891991°
E 43.544312°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
N 76.890745°
E 43.538818°		 ← 138.55 m →
19 197 m²		 N 76.890745°
E 43.544312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620948791503906 y=0.155632019042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620948791503906 × 216)
    floor (0.620948791503906 × 65536)
    floor (40694.5)     		tx = 40694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155632019042969 × 216)
    floor (0.155632019042969 × 65536)
    floor (10199.5)     		ty = 10199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40694 / 10199 ti = "16/40694/10199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40694/10199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40694 ÷ 216
    40694 ÷ 65536     		x = 0.620941162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10199 ÷ 216
    10199 ÷ 65536     		y = 0.155624389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620941162109375 × 2 - 1) × π
    0.24188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75989573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155624389648438 × 2 - 1) × π
    0.688751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16377577505009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75989573} λ = 0.75989573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16377577505009))-π/2
    2×atan(8.70393981149547)-π/2
    2×1.45640737178422-π/2
    2.91281474356843-1.57079632675     		φ = 1.34201842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75989573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.538818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34201842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.891991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40694 KachelY 10199 0.75989573 1.34201842 43.538818 76.891991
    Oben rechts KachelX + 1 40695 KachelY 10199 0.75999161 1.34201842 43.544312 76.891991
    Unten links KachelX 40694 KachelY + 1 10200 0.75989573 1.34199667 43.538818 76.890745
    Unten rechts KachelX + 1 40695 KachelY + 1 10200 0.75999161 1.34199667 43.544312 76.890745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34201842-1.34199667) × R
    2.17500000001536e-05 × 6371000     		dl = 138.569250000979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34201842-1.34199667) × R
    2.17500000001536e-05 × 6371000     		dr = 138.569250000979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75989573-0.75999161) × cos(1.34201842) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.226787442502466 × 6371000     		do = 138.533444898116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75989573-0.75999161) × cos(1.34199667) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.226808625736861 × 6371000     		du = 138.546384708197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34201842)-sin(1.34199667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226787442502466-0.226808625736861)×R²
    abs(0.75999161-0.75989573)×2.11832343945673e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.11832343945673e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.11832343945673e-05×40589641000000     		ar = 19197.3720902831m²