Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40693 / 9757
↖ ↑ ↗
← N 77.431410°
E 43.533325°		 ← 132.91 m → N 77.431410°
E 43.538818°		 →
↑
132.90 m
↓
↑
132.90 m
↓
N 77.430215°
E 43.533325°		 ← 132.92 m →
17 665 m²		 N 77.430215°
E 43.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620933532714844 y=0.148887634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620933532714844 × 216)
    floor (0.620933532714844 × 65536)
    floor (40693.5)     		tx = 40693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148887634277344 × 216)
    floor (0.148887634277344 × 65536)
    floor (9757.5)     		ty = 9757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40693 / 9757 ti = "16/40693/9757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40693/9757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40693 ÷ 216
    40693 ÷ 65536     		x = 0.620925903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9757 ÷ 216
    9757 ÷ 65536     		y = 0.148880004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620925903320312 × 2 - 1) × π
    0.241851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75979986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148880004882812 × 2 - 1) × π
    0.702239990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20615199431422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75979986} λ = 0.75979986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20615199431422))-π/2
    2×atan(9.08070646692709)-π/2
    2×1.46111468877341-π/2
    2.92222937754683-1.57079632675     		φ = 1.35143305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75979986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.533325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35143305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.431410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40693 KachelY 9757 0.75979986 1.35143305 43.533325 77.431410
    Oben rechts KachelX + 1 40694 KachelY 9757 0.75989573 1.35143305 43.538818 77.431410
    Unten links KachelX 40693 KachelY + 1 9758 0.75979986 1.35141219 43.533325 77.430215
    Unten rechts KachelX + 1 40694 KachelY + 1 9758 0.75989573 1.35141219 43.538818 77.430215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35143305-1.35141219) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dl = 132.899060000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35143305-1.35141219) × R
    2.08600000000114e-05 × 6371000     		dr = 132.899060000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75979986-0.75989573) × cos(1.35143305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217608202334128 × 6371000     		do = 132.912428637368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75979986-0.75989573) × cos(1.35141219) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217628562401984 × 6371000     		du = 132.924864317811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35143305)-sin(1.35141219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217608202334128-0.217628562401984)×R²
    abs(0.75989573-0.75979986)×2.03600678557458e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03600678557458e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03600678557458e-05×40589641000000     		ar = 17664.7631738858m²